Гармонические колебания

Графики функций f(x) = sin(x) и g(x) = cos(x) на декартовой плоскости.

Гармоническое колебание — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

$x(t) = A \sin (\omega t + \varphi)$

или

$x(t) = A \cos (\omega t + \varphi)$,

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд $(\omega t + \varphi)$ — полная фаза колебаний, $\varphi$ — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

$\frac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0.$

(Любое нетривиальное^[1] решение этого дифференциального уравнения — есть гармоническое колебание с циклической частотой $\omega.$)

Виды колебаний

Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении

• Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
• Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Применение

Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:

• Очень часто^[2] малые колебания, как свободные, так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.
• Широкий класс периодических функций может быть разложен на сумму тригонометрических компонентов. Другими словами, любое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний.
• Для широкого класса систем откликом на гармоническое воздействие является гармоническое колебание (свойство линейности), при этом связь воздействия и отклика является устойчивой характеристикой системы. С учётом предыдущего свойства это позволяет исследовать прохождение колебаний произвольной формы через системы.

См. также

• Гармонический осциллятор
• Математический маятник
• Физический маятник
• Псевдогармонические колебания

Примечания

1. ↑ То есть не равное тождественно нулю.
2. ↑ Подразумеваемым условием здесь является то, что свойства системы должны быть постоянны во времени (что в реальности достаточно часто выполняется, по крайней мере, приближенно).

Литература

• Физика. Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Лансберга. — 3 изд. — М., 1962. — Т. 3.
• Хайкин С. Э. Физические основы механики. — М., 1963.
• А. М. Афонин. Физические основы механики. — Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.
• Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. — М.: Физматлит, 1959. — 572 с.

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.