Число Армстронга

Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI или число Армстронга — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.

Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальное определение

Пусть $n = \sum_{i = 1}^k d_ib^{i - 1}$ — число, записываемое d_kd_{k − 1}...d₁ в системе счиления с основанием b.

Если при некотором m случится так, что $n = \sum_{i = 1}^k {d_i}^m$, то n является m-самовлюблённым числом. Если, сверх того, m = k, то n можно назвать истинным числом Армстронга.

Очевидно, что при любом m может существовать лишь конечное число m-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого k $k \cdot 9^k < 10^{k-1} - 1$.

Упоминания в литературе

В «Апологии математика» (A Mathematician’s Apology), Г. Харди писал:

«Есть только четыре числа, исключая единицу, которые равны сумме кубов своих цифр:
153 = 1³ + 5³ + 3³
370 = 3³ + 7³ + 0³
371 = 3³ + 7³ + 1³
и 407 = 4³ + 0³ + 7³. Это необычный факт, очень удобный для головоломных разделов в газетах и для развлечения любителей, но в нём нет ничего, что бы привлекало к нему математиков»

Числа Армстронга в различных системах счисления

• Начальные числа Армстронга в десятичной системе счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, … (последовательность A005188 в OEIS).

• В системе с основанием 3:

0, 1, 2, 12, 122, …

• В системе с основанием 4:

0, 1, 2, 3, 313, …

Программа для получения чисел Армстронга

На языке

nums = 1
puts('To what number?')
f1 = gets.chomp.to_i
while (nums <= f1)
   num1=nums
   num2=nums
   num3=nums
   mass=[ ]
   len=num3.to_s.length
   k=len
   while (k >= 1) 
     g=(num3 - num3%(10**(k-1)))/(10**(k-1))
     mass.push(g) 
     num3=num3%(10**(k-1))
     k=k-1
   end
   f = 0
   while f <= mass.length
     num1 = num1 - (mass[f].to_i**len.to_i)
     f=f+1
   end
   if num1 == 0
     puts( num2.to_s + ' - Armstrong number')
   end
   nums = nums + 1  
end

Похожие классы чисел

Иногда термином «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и т. п.

Литература

• Joseph S. Madachy, Mathematics on Vacation, Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, стр. 163—175.

Внешние ссылки

• Статья про самовлюблённые числа на сайте Wolfram Math World (англ.)
• Narcissistic Numbers(англ.)
• Digital Invariants(англ.)

См. также

• Нарцисс (мифология), нарциссизм.