Диффеоморфизм


Диффеоморфизм
Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Содержание

Определение

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение f\colon M\to N гладкого многообразия M в гладкое многообразие N, обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается C^\infty-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса C^k при любом натуральном k.

Примеры

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения

  • Если для M и N существует диффеоморфизм f\colon M\to N, то говорят, что M и N диффеоморфны. Из сказанного следует, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.
  • Множество диффеоморфизмов многообразия M в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов M и обозначаемую \operatorname{Diff}\,M.
  • Отображение f\colon M\to N назывется локальным диффеоморфизмом в точке x\in M если его сужение на некоторую окрестность точки x является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки y=f(x)\in N.

Свойства

  • Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
    • Обратное неверно. Более того существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия.
  • Взаимно однозначное отображение f\colon M\to N является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда f — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также

Литература

  • Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Диффеоморфизм" в других словарях:

  • ДИФФЕОМОРФИЗМ — дифференцируемый гомеоморфизм, гладкий гомеоморфизм, взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение дифференцируемого многообразия М(напр., области в евклидовом пространстве) в. дифференцируемое многообразие N, обратное к к рому… …   Математическая энциклопедия

  • Диффеоморфизм Аносова — В теории динамических систем, области математики, диффеоморфизмы Аносова  введённый Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений. Содержание 1 Определение 2… …   Википедия

  • СВЯЗНОСТЬ — на расслоенном пространстве дифференциально геометрическая структура на гладком расслоенном пространстве со структурной группой Ли, обобщающая связности на многообразии, в частности, напр., Леви Чивита связность в римановой геометрии. Пусть… …   Математическая энциклопедия

  • Пример Данжуа — В теории динамических систем, пример Данжуа пример диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество (и, соответственно, не сопряжённого чистому повороту). М. Эрманом были затем построены… …   Википедия

  • Минимальность (динамические системы) — В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем. Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Примеры …   Википедия

  • АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА — обыкновенных дифференциальных уравнений система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. с. 1 го порядка в нормальной форме: или, в векторной записи, Неавтономная система… …   Математическая энциклопедия

  • ПСЕВДОГРУППА — преобразований дифференцируемого многообразия М семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия Мв М, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений. Точнее,… …   Математическая энциклопедия

  • Псевдогруппа преобразований — гладкого многообразия семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия в , замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений. Содержание 1 Т …   Википедия

  • Гиперболическое отображение — В теории динамических систем, области математики, диффеоморфизм f многообразия M гиперболичен на инвариантном множестве Λ, если касательное расслоение над Λ допускает непрерывное разложение в прямую сумму, причём подрасслоения Eu и Es инвариантны …   Википедия

  • Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла. Конструкция Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора,… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.