Ранг матрицы


Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim (im (A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается \operatorname{rang}A (\operatorname{rg}A) или \operatorname{rank}A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Содержание

Определение

Пусть A_{m\times n} — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

  • нуль, если A — нулевая матрица;
  • число r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0, где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r+1} — окаймляющий к нему минор порядка (r+1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A_{m\times n} порядка k равны нулю (M_k=0). Тогда \forall M_{k+1}=0, если они существуют.


Связанные определения

  • Ранг \operatorname{rang}M матрицы M размера m \times n называют полным, если \operatorname{rang}M = \min\{m, n\}.
  • Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где r=\operatorname{rang}A.
    • Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

  • Теорема (о базисном миноре): Пусть r=\operatorname{rang}A,
M_r — базисный минор матрицы A, тогда:
    1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
    2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
  • Следствия:
    • Если ранг матрицы равен r, то любые p\colon p>r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
    • Если A — квадратная матрица, и \det A=0\iff, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
    • Пусть r=\operatorname{rang}A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A\sim B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A\sim B, то их ранги равны.
  • Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
    • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
    • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A — матрица размера m \times n над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x)=Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

  • Метод элементарных преобразований
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
  • Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k+1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Ранг матрицы" в других словарях:

  • ранг матрицы — наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. * * * РАНГ МАТРИЦЫ РАНГ МАТРИЦЫ, наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы …   Энциклопедический словарь

  • РАНГ МАТРИЦЫ — число r, такое, что определитель по крайней мере одной rx r матрицы, полученной из данной матрицы удалением нек рых строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а определители всех матриц размерности больше r равны нулю. Р. м. равен наиб. числу… …   Физическая энциклопедия

  • ранг матрицы — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] ранг матрицы Наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля (см. Определитель матрицы, детерминант). Р.м. неизменен при ее простых преобразованиях. [http://slovar… …   Справочник технического переводчика

  • Ранг матрицы — [rank of mat­rix] наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля (см. Определитель матрицы, детерминант). Р.м. неизменен при ее простых преобразованиях …   Экономико-математический словарь

  • РАНГ МАТРИЦЫ — наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы …   Большой Энциклопедический словарь

  • РАНГ МАТРИЦЫ — наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ранг матрицы — наибольшее число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • Ранг — В Викисловаре есть статья «ранг» Ранг в биологической систематике  уровень в иерархически организованной системе живых организмов (например …   Википедия

  • Ранг —         матрицы (математический), наивысший из порядков отличных от нуля Миноров этой матрицы (См. Матрица). Р. равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы. Р. не меняется при элементарных преобразованиях матрицы… …   Большая советская энциклопедия

  • РАНГ — понятие, тесно связанное с понятием базиса. Обычно Р. определяется либо как минимальная из мощностей порождающего множества (так, напр., вводится б а з и с н ы й р а н г а л г е б р а и ч ес к о й с и с т е м ы), либо как максимальная мощность… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Ранг матрицы» >>