Теорема о биссектрисе


Теорема о биссектрисе
BD:CD = AB:AC.

Теорема о биссектрисе — одна из теорем геометрии.

Содержание

Описание

Теорема о биссектрисе формулируется следующим образом:

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Существует обобщённая теорема для случая, если D — произвольная точка на BC, тогда

{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|  \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}.

В случае, когда AD — биссектриса, \sin \angle DAB = \sin \angle DAC.

Идея элементарного (т.е. не использующего фактов из следующих классов школьной программы) доказательства следующая:

Построим BE||AD до пересечения с AC. Из соотношения углов при параллельных прямых AB=AE. Тогда по теореме Фалеса для секущих CE и CB получаем требуемое соотношение:
\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}

Похожая теорема справедлива для двугранного угла тетраэдра (необязательно правильного): биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла[1]:200. Таким образом, тетраэдр здесь можно рассматривать как пространственный аналог треугольника, его двугранный угол — угла треугольника, биссекторную плоскость — биссектрисы, площади граней тетраэдра — длин боковых сторон сторон треугольника, противоположное ребро тетраэдра — противоположной стороны треугольника.

История

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III)[2], в частности, на греческом языке в византийском манускрипте[3]. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21), составленной в 1625 году Елизарьевым и хранящейся в Государственном историческом музее[4][5].

Применения

Примечания

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
  2. Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, 11-я и 12-я, содержащие в себе основания геометрии. / Пер. Ф. Петрушевского. — СПб., 1819. — С. 205. — 480 с.
  3. Теорема о биссектрисе в византийском манускрипте
  4. Текст цитаты см. в: Белый Ю.А., Швецов К.И. Об одной русской геометрической рукописи первой четверти XVII в // Историко-математические исследования. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — В. 12. — С. 214.
  5. История отечественной математики. В 4-х т. / Отв. ред. И. З. Штокало. — Киев: Наукова думка, 1966. — Т. 1. С древнейших времен до конца XVIII в.. — С. 129. — 492 с.

Литература

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 18-19.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теорема о биссектрисе" в других словарях:

  • Биссектриса — (от лат. bi «двойное», и sectio «разрезание») угла  луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Биссектриса угла геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла. В треугольнике под… …   Википедия

  • Вписанная окружность — Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектри …   Википедия

  • Кристаллографическая группа — Кристаллографическая группа  дискретная группа движений мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область. Содержание 1 Теорема Бибербаха 1.1 Число гру …   Википедия

  • Пространственная группа — Кристаллографическая группа  дискретная группа движений n мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область. Под кристаллографической (пространственной) группой кристалла понимают набор всех операций симметрии, присущих …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.