Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая $\gamma=\gamma(t)$ на гладкой регулярной поверхности $F$ в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности $F$, т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

$\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0,$

где $\mathrm{I\!I}$ — вторая фундаментальная форма поверхности $F$.

Три типа точек поверхности

Точки, в которых гауссова кривизна $K<0$, называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна $K>0$, называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна $K=0$, но средняя кривизна $K \neq 0$, называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит конус или цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой $\gamma$ (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.
• Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности $F$ (теорема Бельтрами — Эннепера).
• Прямолинейный отрезок на поверхности $F$ всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
• На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над $2\pi$ (формула Хаццидакиса).
• На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
• При проективном преобразовании $\pi$ пространства асимптотические кривые поверхности $F$ переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности $\pi(F)$.

Уравнение для графика функции

Пусть в евклидовом пространстве с координатами $x,y,z$ и метрикой $ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2$ поверхность задана в виде графика функции $z=f(x,y)$. Тогда в координатах $x,y$ асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением $f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$ Введя обозначение $p=dy/dx$, его можно переписать в виде $f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$ Дискриминант $\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$ стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной $p$) совпадает с гессианом функции $f(x,y)$, взятым с обратным знаком, и уравнение $\Delta=0$ задает на плоскости $(x,y)$ кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов $f_{xx}$ или $f_{yy}$ отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых $H=K=0$, т.е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

Примеры

• Все точки однополостного гиперболоида $x^2+y^2-z^2=1$ относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид $(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$, где $p=dy/dx$. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задается формулой $y=ax+b$, где параметры $a$ и $b$ подчинены соотношению $b^2-a^2=1$. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам $\pm$ в формуле $b = \pm \sqrt{a^2+1}$) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.

• Асимтотические линии конуса $x^2+y^2-z^2=0$ также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.

• В случае поверхности, заданной уравнением $z=y^2 + x^2y + ax^4$, имеем $\Delta = (1-6a)x^2 - y$. Линия параболических точек ($y=(1-6a)x^2$) делит поверхность на эллиптическую ($y>(1-6a)x^2$) и гиперболическую ($y<(1-6a)x^2$) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат ($x=y=0$), уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра $a$, см. статью.

• Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде:

  $\left\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matrix} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$

являются два параллели $z=\pm r$, разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек.

• Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Разделы математики

 

Портал «Наука»

Алгебра   Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Абстрактная алгебра Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий

Математический анализ   Вариационное исчисление  • Комплексный анализ  • Теория меры  • Функциональный анализ  • Гармонический анализ  • Нестандартный анализ

Геометрия и топология   Геометрия Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия Топология Общая топология  • Алгебраическая топология Смежные направления Дифференциальная геометрия и топология  • Геометрическая топология

Дискретная математика   Комбинаторика  • Теория графов  • Теория множеств  • Булева алгебра

Прикладная математика   Математическая физика  • Математическая химия  • Математическая статистика  • Математическое моделирование  • Теория алгоритмов  • Численные методы  • Математическая экономика, Финансовая математика  • Теория вероятностей  • Исследование операций

Математическая логика (алгебра логики)  • Теория чисел (арифметика)

Портал «Математика» | Категория «Математика»