Зонная структура графена


Зонная структура графена

Зонная структура графена рассчитана в 1947 году в статье [1]. На внешней оболочке атома углерода находится 4 электрона, три из которых образуют sp² гибридизированные связи с соседними атомами в решётки, а оставшийся электрон находится в 2pz состоянии (именно это состояние отвечает за образование межплоскостных связей в графите). В нашем рассмотрении он отвечает за образование энергетических зон графена.

Вывод

 Просмотр этого шаблона  Графен
\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla
Уравнение Дирака для графена
Введение ...

Математическая формулировка ...

См. также: Портал:Физика

В приближении сильно связанных электронов полная волновая функция всех электронов кристалла запишется в виде суммы волновых функций электронов из разных подрешёток

\psi=\phi_1+\lambda\phi_2,\qquad(1.1)

где коэффициент λ — параметр, который определяется из системы уравнений (1.6). Входящие в уравнение волновые функции \phi_1 и \phi_2, которые по смыслу означают амплитуды волновых функций на определённой подрешётке кристалла, запишутся в виде суммы волновых функций отдельных электронов в различных подрешётках кристалла

\phi_1=\sum_Ae^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_A}X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A),\qquad(1.2)
\phi_2=\sum_Be^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_B}X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B).\qquad(1.3)

Здесь \mathbf{r}_A и \mathbf{r}_B — радиус-векторы направленные на узлы кристаллической решётки, а X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A) и X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B) — волновые функции электронов, локализованных вблизи этих узлов. В приближении сильно связанных электронов мы можем пренебречь перекрытием волновых функций соседних атомов.

S_{12}=\int{X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A)X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B)d\mathbf{r}}=0\qquad(1.4)

Теперь подставив в уравнение Шрёдингера H\psi=E\psi нашу волновую функцию (1.1) получим для энергетического спектра носителей и неизвестного параметра λ следующую систему уравнений

H_{11}+\lambda H_{12}=ES+ES_{12}\lambda
H_{21}+\lambda H_{22}=\lambda ES+ES_{12}\qquad(1.5)

или в матричном виде


\left(
  \begin{array}{cc}
    H_{11} & H_{12}\\
    H_{21} & H_{22} \\
  \end{array}
\right)\left(
  \begin{array}{cc}
    1   \\
    \lambda   \\
  \end{array}
\right)=\left(
  \begin{array}{cc}
    ES & ES_{12} \\
    ES_{12} & ES \\
  \end{array}\right) \left(
  \begin{array}{cc}
    1  \\
     \lambda  \\
  \end{array}
\right)\qquad(1.6)
Рис. 1: Ближайшие атомы в окружении центрального узла (A) решётки. Красная пунктирная окружность соответствует ближайшим соседям из той же самой подрешётки кристалла (A), а зелёная окружность соответствует атомам из второй подрешётки кристала (B).

где используются следующие обозначения для интегралов

H_{jj}=\int\phi_j^{*}H\phi_jd\mathbf{r}\qquad(1.7)
H_{12}=H_{21}^{*}=\int\phi_1^{*}H\phi_2d\mathbf{r}\qquad(1.8)
S=\int\phi_j^{*}\phi_jd\mathbf{r}\qquad(1.9).

Которую можно решить относительно E.

E=\frac{1}{2S}\left(H_{11}+H_{22}\pm\sqrt{(H_{11}-H_{22})^2+4|H_{12}|^2}\right)\qquad(1.9)

Здесь можно сделать некие упрощения

S=N,
H_{11}=H_{22},
H_{11}^{\,'}=H_{22}^{\,'}=\frac{1}{N}H_{11}=\frac{1}{N}H_{22},
H_{12}^{\,'}=\frac{1}{N}H_{12},\qquad(1.10)

где N — число элементарных ячеек в кристалле. С этими равенствами мы приходим к уравнению

E=H_{11}^{\,'}\pm|H_{12}^{\,'}|\qquad(1.11)

Это уравнение мы тоже упростим, избавившись от первого слагаемого, которое соответствует некой постоянной энергии и малому изменению энергии по сравнению со вторым членом, отвечающим интегралу перекрытия волновых функций соседних атомов из той же подрешётки (A). Другими словами — взаимодействию волновой функции центрального атома с волновыми функциями атомов, расположенных на красной окружности (см. Рис. 1). Нас будет интересовать только особенность спектра связанного со вторым слагаемым, которое зависит от интегралов перекрытия ближайших атомов из разных подрешёток (A) и (B) (центральный атом и атомов на зелёной окружности). Энергетический спектр запишется в виде

E=\pm|H_{12}^{\,'}|\qquad(1.12)

Интеграл перекрытия можно представить в виде

\gamma_0=-\int{X^{*}(\mathbf{r}-\mathbf{\rho})HX(\mathbf{r})d\mathbf{r}},\qquad(1.13)

где \mathbf{\rho} — радиус-вектор направленный в позиции ближайших соседей. Для величины H_{12}^{\,'} после подставления волновых функций (1.2) и (1.3) в выражение (1.8) получим

H_{12}^{\,'}=\frac{1}{N}\sum_{A,B}{\exp{[-2\pi i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B)]}\int{X^{*}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A)HX(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B)d\mathbf{r}}}.\qquad(1.14)

Откуда после некоторых упрощений и используя координаты для ближайших соседей (1.3) получим

H_{12}^{\,'}=-\gamma_0\left(\exp{[-2i\pi k_x(a/\sqrt{3})]}+2\cos{\pi k_ya}\exp{[2i\pi k_x(a/\sqrt{3})]}\right).\qquad(1.15)

В итоге приходим к интересующему нас энергетическому спектру вида

E=\pm\sqrt{\gamma_0^2\left(1+4\cos^2{\pi k_ya}+4\cos{\pi k_ya}\cos{\pi k_x\sqrt{3}a}\right)},\qquad(1.16)

где знак «+» соответствует электронам, а «-» —дыркам.

См. также

Примечания

  1. Wallace P. R. «The Band Theory of Graphite», Phys. Rev. 71, 622 (1947) DOI:10.1103/PhysRev.71.622

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Зонная структура графена" в других словарях:

  • Уравнение Дирака для графена — Основная статья: Графен     Графен …   Википедия

  • Получение графена — Основная статья: Графен Существует несколько способов для получения графена, которые можно разделить на три большие группы. К первой группе относятся механические методы получения графена, основной из которых механическое отшелушивание, который… …   Википедия

  • Видимость графена —     Графен …   Википедия

  • Графен — Пожалуйста, актуализируйте данные В этой статье данные предоставлены преимущественно за 2007 2008 гг …   Википедия

  • Энергетический спектр — (закон дисперсии)  зависимость энергии частицы от импульса. Для свободной частицы закон дисперсии изотропен и зависит квадратично от импульса. Такой же параболический закон дисперсии встречается в физике твёрдого тела, поскольку при движении …   Википедия

  • Уравнение Дирака (графен) — Графен Уравнение Дирака (графен) Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Постоянная тонкой структуры (графен) —     Графен …   Википедия

  • Графеновый полевой транзистор —     Графен …   Википедия

  • Графеновые наноленты —     Графен …   Википедия

  • Подвешенный графен —     Графен …   Википедия