Интегральный синус

У этого термина существуют и другие значения, см. Синус (значения).

График интегрального синуса для 0 ≤ x ≤ 8π.

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом^[1]:

$\operatorname{Si}\,x =\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt.$

Иногда также пользуются обозначением $\operatorname{si}\,x:$

$\operatorname{si}\,x = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}\,x -\frac{\pi}{2}.$

Интегральный синус также может быть определён через интегральную показательную функцию по аналогии с синусом^[2]:

$\operatorname{si}\,x = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}\,(ix) - \operatorname{Ei}\,(-ix) \right).$

Интегральный синус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный синус — нечётная функция:

$\operatorname{Si}\,(-x) = -\,\operatorname{Si}\,x.$

• Интегральный синус имеет асимптоты:

$\lim_{x \to + \infty} \operatorname{Si}\,x = \frac{\pi}{2},$

$\lim_{x \to + \infty} \operatorname{si}\,x = \pi,$

$\lim_{x \to - \infty} \operatorname{Si}\,x = - \frac{\pi}{2},$

$\lim_{x \to - \infty} \operatorname{si}\,x = 0.$

• Интегральный синус имеет локальные экстремумы в точках $x = \pm\pi,\,\pm2\pi,\,\pm3\pi,\,\cdots\,$

Разложение в ряд

$\operatorname{Si}\,x = x - \frac {x^3}{3 \cdot 3!} + \frac {x^5}{5 \cdot 5!} - \frac {x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)! (2n+1)} x^{2n+1}.$

Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.

См. также

• Интегральный косинус
• Интегральный логарифм
• Интегральная показательная функция

Примечания

1. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. — С. 625.
2. ↑ Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2 // М.: Наука, 1974. — С. 149.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — С. 238.