Квадратное уравнение

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

$ax^2 + bx + c = 0,$

где $x$ — свободная переменная, $a$, $b$, $c$ — коэффициенты, причём $\quad a \ne 0.$

Выражение $ax^2+bx+c$ называют квадратным трёхчленом.

Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной $x$, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество.

Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент $a$ называют первым или старшим, коэффициент $b$ называют вторым или коэффициентом при $x$, $c$ называется свободным членом этого уравнения.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент $a$:

$x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}.$

Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Этот раздел не закончен. Если вы имеете возможность дополнить его значимой информацией либо снабдить необходимыми иллюстрациями или другими мультимедиа, пожалуйста, сделайте это. Этим вы поспособствуете развитию статьи.

Древний Вавилон

Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

$x^2+x=\frac{3}{4};\ x^2-x=14\frac{1}{2}.$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, Брахмагуптой, было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: $ax^2+bx=c$; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме $a$ могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

Общая формула вычисления корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$    (1),

где $a, b, c$ — коэффициенты; $a \ne 0.$

Подкоренное выражение ${b^2-4ac}$ называется дискриминантом $D=b^2 - 4ac:$

• при $D > 0$ корней два;
• при $D = 0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);
• при $D < 0$ корней на множестве действительных чисел нет.

Получение формулы для решения

Формулу можно получить следующим образом:

$ax^2 + bx + c = 0,$

$ax^2 + bx =-c$

Умножаем каждую часть на $4a$ и прибавляем $b^2$:

$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = -4ac + b^2$

$(2ax + b)^2 = -4ac + b^2$

$2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}$

$2ax = - b\pm\sqrt{-4ac + b^2}$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Формулы, связанные с корнями квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида $ax^2 + 2kx + c = 0$, то есть при чётном $b$, где $k=\frac{1}{2}b$
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a$

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

$x_{1, 2}=\frac{-2k\pm\sqrt{(2k)^2-4ac}}{2a}=$

$=\frac{-2k\pm\sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k\pm\sqrt{4(k^2-ac)}}{2a}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=$

$=\frac{2(-k\pm\sqrt{k^2-ac})}{2a}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.$

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}$.

Также при чётном $b$ удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

$\frac{D}{4}=\frac{(2k)^2-4ac}{4}=\frac{4(k^2-ac)}{4}=k^2-ac$

или, если уравнение приведённое:

$\frac{D}{4}=k^2-c$.

Все необходимые свойства при этом сохраняются:

$\frac{D}{4}>0 \Rightarrow D>0$

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при $D=0$:

$x=\frac{-2k}{2a}=\frac{-k}{a}$.

Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:

$x=-k$.

Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.

Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном $b$.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент $a$ положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент $b$ положительный (при положительном $a$, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида $f(x)=g(x)$ заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Способ I

Для решения квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ этим способом строится график функции $y=ax^2+bx+c$ и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью $x$.

Способ II

Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду $ax^2=-bx-c$ и строят в одной системе координат графики квадратичной функции $y=ax^2$ и линейной функции $y=-bx-c$, затем находят абсциссу точек их пересечения.

Способ III

Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду $a(x+l)^2+m=0$, используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в $a(x+l)^2=-m$. После этого строятся график функции $y=a(x+l)^2$ (им является график функции $y=ax^2$, смещённый на $|l|$ единиц масштаба в право или влево в зависимости от знака) и прямую $y=-m$, параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Способ IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду $ax^2+c=-bx$, строят график функции $y=ax^2+c$ (им является график функции $y=ax^2$, смещённый на $c$ единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и $y=-bx$, находят абсциссы их общих точек.

Способ V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

$\frac{ax^2}{x}+\frac{bx}{x}+\frac{c}{x}=\frac{0}{x};$

$ax+b+\frac{c}{x}=0;$

затем

$ax+b=-\frac{c}{x}.$.

Совершив преобразования, строят графики линейной функции $y=ax+b$ и обратной пропорциональности $y=-\frac{c}{x};\ (c\not=0)$, отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если $c=0$, то метод не используется.

Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации:

 b = 0; c = 0

Если уравнение имеет вид $ax^2=0$, или, иными словами, если в уравнении как второй коэффициент, так и свободный член равны нулю, то его решают следующим образом:

$ax^2=0;$

$x^2=0;$

$x=0.$

Как мы видим, такое уравнение имеет один корень - нуль.

 b = 0; c ≠ 0

В случае, когда уравнение имеет вид $ax^2+c=0$, решение выглядит так:

$ax^2+c=0$

$ax^2=-c;$

$x^2=-\frac{c}{a};$

$x_{1, 2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}.$

Если $-\frac{c}{a}>0$, то уравнение имеет два действительных корня - $\sqrt{-\frac{c}{a}}$ и $-\sqrt{-\frac{c}{a}}$, если $-\frac{c}{a}<0$, то уравнение не имеет действительных корней.

 b ≠ 0; c = 0

Если уравнение имеет вид $ax^2+bx=0$, то решается оно так:

$ax^2+bx=0;$

$x(ax+b)=0;$

$x=0$ или $ax+b=0;\ x=-\frac{b}{a}.$

Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня: 0 и $-\frac{b}{a}$.

Безусловно, для решения таких уравнений можно применять и универсальные формулы, однако принято всё же использовать при их решении описанные методы.

Здесь рассматривались случаи с действительными коэффициентами. Об уравнениях с комплексными коэффициентами читайте ниже.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении $ax^2+bx+c=0$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: ($a+c=b$; речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются $-1$ и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ($-\frac{c}{a}$).

Доказательство

Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

$D=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2$.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов $(a-c)^2\geqslant0$, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если $a\not=c$, то уравнение имеет два корня, если же $a=c$, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

$x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{-(a+c)\pm\sqrt{(a-c)^2}}{2a}=\frac{-a-c\pm|a-c|}{2a}=\frac{-a-c\pm a\mp c}{2a}$.

$x_1=\frac{-a-c-a+c}{2a}=\frac{-2a}{2a}=-1;$

$x_2=\frac{-a-c+a-c}{2a}=\frac{-2c}{2a}=-\frac{c}{a}.$

В частности, если $a=c$, то корень будет один: $-1.$

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ($a+b+c=0$), то корнями такого уравнения являются $1$ и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ($\frac{c}{a}$).

Доказательство

Прежде всего заметим, что из равенства $a+b+c=0$ следует, что $b=-(a+c)$ Установим количество корней:

$D=b^2-4ac=(-(a+c))^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2.$

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов $(a-c)^2\geqslant 0$, а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если $a\not=c$, то уравнение имеет два корня, если же $a=c$, то только один. Найдём эти корни:

$x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{a+c\pm\sqrt{(a-c)^2}}{2a}=\frac{a+c\pm|a-c|}{2a}=\frac{a+c\pm a\mp c}{2a};$

$x_1=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1;$

$x_2=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}.$

В частности, если $a=c$, то уравнение имеет только один корень, которым является число $1$.

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициент данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами $a,~b,~c$ может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта $D=b^2 - 4ac:$

• при $D > 0$ корней два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$       (1)

• при $D = 0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x = \frac{-b}{2a};$

• при $D < 0$ вещественных (действительных) корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.$

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0,$ в котором старший коэффициент $a$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.$

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Cводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^[1] q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Теорема Виета

Основная статья: Теорема Виета

Формулировка

сумма корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна коэффициенту $p$ со знаком "минус", а произведение корней равно свободному члену $q$

$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 * x_2 = q.$

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x_1 + x_2 = -b/a, \quad x_1 * x_2 = c/a.$

Используя эту теорему, можно решать некоторые квадратные уравнения устно.

Пример

$x^2 -8x + 12 = 0$

$x_1 + x_2 = 8, \quad x_1 * x_2 = 12$

$x_1 = 2, \quad x_2 = 6$

Проверка:

$2^2 - 8*2 + 12 = 0, \quad 6^2 - 8*6 + 12 = 0$

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

$~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$    (2)

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ образуют соотношения с его коэффициентами: $x_1+x_2=-\frac{b}{a};\ x_1x_2=\frac{c}{a}$. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

$ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=$

$=a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1.

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни.

Доказательство.

Пусть $ax^2+bx+c=(kx+m)(nx+l)$. Тогда, переписав это разложение, получим:

$(kx+m)(nx+l)=k(x+\frac{m}{k})n(x+\frac{l}{n})=kn(x-(-\frac{m}{k}))(x-(-\frac{l}{n}))$.

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются $-\frac{m}{k}$ и $-\frac{l}{n}$.

Следствие 2.

Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то он не раскладывается на линейные множители.

Доказательство.

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то согласно следствию 1 он имеет корни, что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x - координаты точки, где график пересекает ось x-ов, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида $a \cdot f^2(x) + b \cdot f(x) + c = 0$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой $f(x)=t, t \in E(f)$ c последующим решением квадратного уравнения $a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0$.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

$f(x) = \frac {-b - \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a}$ и

$f(x) = \frac {-b + \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a}$

Если $f(x)=x^2$, то уравнение принимает вид:

$ax^4+bx^2+c=0$

Такое уравнение называется биквадратным^[2].

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

$y'' + py' + qy = 0$

подстановкой $y = e^{kx}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

$k^2 + pk + q = 0$

Если решения этого уравнения $k_1$ и $k_2$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

$y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x}$, где $A$ и $B$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней $k_{1,2} = k_r \pm k_i i$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

$y = e^{k_r x} \left( A\cos{k_i x} + B\sin{k_i x} \right) = Ae^{k_r x} \cos(k_i x + \varphi)$

Если решения характеристического уравнения совпадают $k_1 = k_2 = k$, общее решение записывается в виде:

$y = Axe^{kx} + Be^{kx}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания

1. ↑ другой вариант — «несчастное»
2. ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1988.

Ссылки

	Квадратное уравнение на Викискладе?

• Weisstein, Eric W. QuadraticEquation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Решение квадратных уравнений онлайн [1], [2], [3], [4], [5],
• Презентация, повествующая о десяти способах решения квадратных уравнений [6].