Гравитационная задача N тел

Гравитацио́нная зада́ча N тел является классической проблемой небесной механики и гравитационной динамики Ньютона.

Она формулируется следующим образом.

В пустоте находится N материальных точек, массы которых известны {m_i}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено закону тяготения Ньютона, и пусть силы гравитации аддитивны. Пусть известны начальные на момент времени t=0 положения и скорости каждой точки r_i|_{t =0} = r_i0, v_i|_{t =0} = v_i0. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

Математическая формулировка гравитационной задачи N тел

Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:

$\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i,$

$\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \, \frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i\right|^{3}},$

где $m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i$ — масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G — гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.

Аналитическое решение

Траектории двух тел разной массы, пребывающих в гравитационном взаимодействии друг с другом

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями

• Случай уединённой точки N=1 не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается первым законом Ньютона. Гравитационное взаимодействие — это, как минимум, парный акт.
• Решением задачи двух тел N=2 является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом m₁/m₂→0. При этом теряется равноправие точек: m₂ принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, — параметр m₁ выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Вспомним, массы вообще не упоминаются в законах Кеплера!)
• Для задачи трёх тел в 1912 Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени, с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно^[1]. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно^[2]. Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей^[2]. Кроме того, известно только 5 точных решений задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.

• На данный момент, в общем виде задача N тел для N>3 может быть решена только численно. Причём для N=3 ряды Зундмана даже при современном уровне компьютеров использовать практически невозможно.

Интегралы движения

Несмотря на кажущуюся простоту формул, аналитического решения данной задачи в общем виде для N>3 не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел^[3]. Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

Приведем для справки комментарий В. М. Алексеева (1971 г.) к соответствующему пассажу в Небесной механике Пуанкаре^[4]:

Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю^[5]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова^[6]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл^[7].

Численные методы

С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются чаще всего следующие численные методы:

• Метод Рунге — Кутты (обычно — четвёртого порядка, но часто используются и более высокие порядки).
• …

Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы растёт приблизительно как $N^2$, что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.

Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):

• Схема Ахмада-Коэна — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далёких тел).

Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.

• «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом^[8].

См. также

• MilkyWay@home
• en:Gravity Pipe
• Взаимодействие многих тел

Примечания

1. ↑ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.
2. ↑ ^{1 2} А. П. Маркеев, «Задача трёх тел и её точные решения», Соросовский образовательный журнал, № 9, 1999. Копия статьи в Архиве Интернета
3. ↑ Bruns H. Uеber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25-96. См. также: Уитекер. Аналитическая динамика.
4. ↑ См. также В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, 1995.
5. ↑ Русск. перев.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129—155
6. ↑ Колмогоров А. Н. //ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530; Арнольд В. И. //УМН, 1963, 18 , № 5—6
7. ↑ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.
8. ↑ Software Distribution

Ссылки

• Java-апплет, визуализирующий некоторые частные случаи задачи