Кластерный анализ

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Викифицировать статью.

Результат кластерного анализа обозначен раскрашиванием точек в соответствии с принадлежностью к одному из трёх кластеров.

Кластерный анализ (англ. cluster analysis) — задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Задача кластеризации относится к статистической обработке, а также к широкому классу задач обучения без учителя.

Большинство исследователей склоняются к тому, что впервые термин «кластерный анализ» (англ. cluster — гроздь, сгусток, пучок) был предложен математиком Р.Трионом^[1]. Впоследствии возник ряд терминов, которые в настоящее время принято считать синонимами термина «кластерный анализ»: автоматическая классификация; ботриология.

Кластерный анализ — это многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы^[2][3][4][5](кластеры)(Q-кластеризация, или Q-техника, собственно кластерный анализ). Кластер — группа элементов, характеризуемых общим свойством, главная цель кластерного анализа — нахождение групп схожих объектов в выборке. Спектр применений кластерного анализа очень широк: его используют в археологии, медицине, психологии, химии, биологии, государственном управлении, филологии, антропологии, маркетинге, социологии и других дисциплинах. Однако универсальность применения привела к появлению большого количества несовместимых терминов, методов и подходов, затрудняющих однозначное использование и непротиворечивую интерпретацию кластерного анализа. Орлов А. И. предлагает различать следующим образом:

В дискриминантном анализе классы предполагаются заданными — плотностями вероятностей или обучающими выборками. Задача состоит в том, чтобы вновь поступающий объект отнести в один из этих классов. У понятия «дискриминация» имеется много синонимов: диагностика, распознавание образов с учителем, автоматическая классификация с учителем, статистическая классификация и т. д. При кластеризации и группировке целью является выявление и выделение классов. Синонимы: построение классификации, распознавание образов без учителя, автоматическая классификация без учителя, таксономия и др. Задача кластер-анализа состоит в выяснении по эмпирическим данным, насколько элементы «группируются» или распадаются на изолированные «скопления», «кластеры» (от cluster (англ.) — гроздь, скопление). Иными словами, задача — выявление естественного разбиения на классы, свободного от субъективизма исследователя, а цель — выделение групп однородных объектов, сходных между собой, при резком отличии этих групп друг от друга^[6]

Задачи и условия

Кластерный анализ выполняет следующие основные задачи:

• Разработка типологии или классификации.
• Исследование полезных концептуальных схем группирования объектов.
• Порождение гипотез на основе исследования данных.
• Проверка гипотез или исследования для определения, действительно ли типы (группы), выделенные тем или иным способом, присутствуют в имеющихся данных.

Независимо от предмета изучения применение кластерного анализа предполагает следующие этапы:

• Отбор выборки для кластеризации. Подразумевается, что имеет смысл кластеризовать только количественные данные.
• Определение множества переменных, по которым будут оцениваться объекты в выборке, то есть признакового пространства.
• Вычисление значений той или иной меры сходства (или различия) между объектами.
• Применение метода кластерного анализа для создания групп сходных объектов.
• Проверка достоверности результатов кластерного решения.

Кластерный анализ предъявляет следующие требования к данным^{[источник не указан 302 дня]}:

1. показатели не должны коррелировать между собой;
2. показатели не должны противоречить теории измерений;
3. распределение показателей должно быть близко к нормальному;
4. показатели должны отвечать требованию «устойчивости», под которой понимается отсутствие влияния на их значения случайных факторов;
5. выборка должна быть однородна, не содержать «выбросов».

Можно встретить описание двух фундаментальных требований предъявляемых к данным — однородность и полнота:

Однородность требует, чтобы все сущности, представленные в таблице, были одной природы. Требование полноты состоит в том, чтобы множества I и J представляли полную опись проявлений рассматриваемого явления. Если рассматривается таблица $k_{IJ}$ в которой I — совокупность, а J — множество переменных, описывающих эту совокупность, то должно $k_{IJ}$ должно быть представительной выборкой из изучаемой совокупности, а система характеристик J должна давать удовлетворительное векторное представление индивидов i с точки зрения исследователя^[7].

Если кластерному анализу предшествует факторный анализ, то выборка не нуждается в «ремонте» — изложенные требования выполняются автоматически самой процедурой факторного моделирования (есть ещё одно достоинство — z-стандартизация без негативных последствий для выборки; если её проводить непосредственно для кластерного анализа, она может повлечь за собой уменьшение чёткости разделения групп). В противном случае выборку нужно корректировать.

Типология задач кластеризации

Типы входных данных

• Признаковое описание объектов. Каждый объект описывается набором своих характеристик, называемых признаками. Признаки могут быть числовыми или нечисловыми.
• Матрица расстояний между объектами. Каждый объект описывается расстояниями до всех остальных объектов метрического пространства.
• Матрица сходства между объектами^[8]. Учитывается степень сходства объекта с другими объектами выборки в метрическом пространстве. Сходство здесь дополняет расстояние (различие) между объектами до 1.

В современной науке применяется несколько алгоритмов обработки входных данных. Анализ путём сравнения объектов, исходя из признаков, (наиболее распространённый в биологических науках) называется Q-типом анализа, а в случае сравнения признаков, на основе объектов — R-типом анализа. Существуют попытки использования гибридных типов анализа (например, RQ-анализ), но данная методология ещё должным образом не разработана.

Цели кластеризации

• Понимание данных путём выявления кластерной структуры. Разбиение выборки на группы схожих объектов позволяет упростить дальнейшую обработку данных и принятия решений, применяя к каждому кластеру свой метод анализа (стратегия «разделяй и властвуй»).
• Сжатие данных. Если исходная выборка избыточно большая, то можно сократить её, оставив по одному наиболее типичному представителю от каждого кластера.
• Обнаружение новизны (англ. novelty detection). Выделяются нетипичные объекты, которые не удаётся присоединить ни к одному из кластеров.

В первом случае число кластеров стараются сделать поменьше. Во втором случае важнее обеспечить высокую степень сходства объектов внутри каждого кластера, а кластеров может быть сколько угодно. В третьем случае наибольший интерес представляют отдельные объекты, не вписывающиеся ни в один из кластеров.

Во всех этих случаях может применяться иерархическая кластеризация, когда крупные кластеры дробятся на более мелкие, те в свою очередь дробятся ещё мельче, и т. д. Такие задачи называются задачами таксономии. Результатом таксономии является древообразная иерархическая структура. При этом каждый объект характеризуется перечислением всех кластеров, которым он принадлежит, обычно от крупного к мелкому.

Методы кластеризации

Общепринятой классификации методов кластеризации не существует, но можно отметить солидную попытку В. С. Берикова и Г. С. Лбова^[9]. Если обобщить различные классификации методов кластеризации, то можно выделить ряд групп (некоторые методы можно отнести сразу к нескольким группам и потому предлагается рассматривать данную типизацию как некоторое приближение к реальной классификации методов кластеризации):

1. Вероятностный подход. Предполагается, что каждый рассматриваемый объект относится к одному из k классов. Некоторые авторы (например, А. И. Орлов) считают, что данная группа вовсе не относится к кластеризации и противопоставляют её под названием «дискриминация», то есть выбор отнесения объектов к одной из известных групп (обучающих выборок).
   • K-средних (K-means)
   • K-medians
   • EM-алгоритм
   • Алгоритмы семейства FOREL
   • Дискриминантный анализ
2. Подходы на основе систем искусственного интеллекта. Весьма условная группа, так как методов AI очень много и методически они весьма различны.
   • Метод нечеткой кластеризации C-средних (C-means)
   • Нейронная сеть Кохонена
   • Генетический алгоритм
3. Логический подход. Построение дендрограммы осуществляется с помощью дерева решений.
4. Теоретико-графовый подход.
   • Графовые алгоритмы кластеризации
5. Иерархический подход. Предполагается наличие вложенных групп (кластеров различного порядка). Алгоритмы в свою очередь подразделяются на агломеративные (объединительные) и дивизивные (разделяющие). По количеству признаков иногда выделяют монотетические и политетические методы классификации.
   • Иерархическая дивизивная кластеризация или таксономия. Задачи кластеризации рассматриваются в количественной таксономии.
6. Другие методы. Не вошедшие в предыдущие группы.
   • Статистические алгоритмы кластеризации
   • Ансамбль кластеризаторов
   • Алгоритмы семейства KRAB
   • Алгоритм, основанный на методе просеивания
   • DBSCAN и др.

Подходы 4 и 5 иногда объединяют под названием структурного или геометрического подхода, обладающего большей формализованностью понятия близости^[10]. Несмотря на значительные различия между перечисленными методами все они опираются на исходную «гипотезу компактности»: в пространстве объектов все близкие объекты должны относиться к одному кластеру, а все различные объекты соответственно должны находиться в различных кластерах.

Формальная постановка задачи кластеризации

Пусть $X~$ — множество объектов, $Y~$ — множество номеров (имён, меток) кластеров. Задана функция расстояния между объектами $\rho(x,x')~$. Имеется конечная обучающая выборка объектов $X^m = \{ x_1, \dots, x_m \} \subset X$. Требуется разбить выборку на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из объектов, близких по метрике $\rho~$, а объекты разных кластеров существенно отличались. При этом каждому объекту $x_i\in X^m$ приписывается номер кластера $y_i~$.

Алгоритм кластеризации — это функция $a\colon X\to Y$, которая любому объекту $x\in X$ ставит в соответствие номер кластера $y\in Y$. Множество $Y~$ в некоторых случаях известно заранее, однако чаще ставится задача определить оптимальное число кластеров, с точки зрения того или иного критерия качества кластеризации.

Кластеризация (обучение без учителя) отличается от классификации (обучения с учителем) тем, что метки исходных объектов $y_i~$ изначально не заданы, и даже может быть неизвестно само множество $Y~$.

Решение задачи кластеризации принципиально неоднозначно, и тому есть несколько причин (как считает ряд авторов):

• не существует однозначно наилучшего критерия качества кластеризации. Известен целый ряд эвристических критериев, а также ряд алгоритмов, не имеющих чётко выраженного критерия, но осуществляющих достаточно разумную кластеризацию «по построению». Все они могут давать разные результаты. Следовательно, для определения качества кластеризации требуется эксперт предметной области, который бы мог оценить осмысленность выделения кластеров.
• число кластеров, как правило, неизвестно заранее и устанавливается в соответствии с некоторым субъективным критерием. Это справедливо только для методов дискриминации, так как в методах кластеризации выделение кластеров идёт за счёт формализованного подхода на основе мер близости.
• результат кластеризации существенно зависит от метрики, выбор которой, как правило, также субъективен и определяется экспертом. Но стоит отметить, что есть ряд рекомендаций к выбору мер близости для различных задач.

Применение

В биологии

В биологии кластеризация имеет множество приложений в самых разных областях. Например, в биоинформатике с помощью нее анализируются сложные сети взаимодействующих генов, состоящие порой из сотен или даже тысяч элементов. Кластерный анализ позволяет выделить подсети, узкие места, концентраторы и другие скрытые свойства изучаемой системы, что позволяет в конечном счете узнать вклад каждого гена в формирование изучаемого феномена.

В области экологии широко применяется для выделения пространственно однородных групп организмов, сообществ и т. п. Реже методы кластерного анализа применяются для исследования сообществ во времени. Гетерогенность структуры сообществ приводит к возникновению нетривиальных методов кластерного анализа (например, метод Чекановского).

В общем стоит отметить, что исторически сложилось так, что в качестве мер близости в биологии чаще используются меры сходства, а не меры различия (расстояния).

В социологии

При анализе результатов социологических исследований рекомендуется осуществлять анализ методами иерархического агломеративного семейства, а именно методом Уорда, при котором внутри кластеров оптимизируется минимальная дисперсия, в итоге создаются кластеры приблизительно равных размеров. Метод Уорда наиболее удачен для анализа социологических данных. В качестве меры различия лучше квадратичное евклидово расстояние, которое способствует увеличению контрастности кластеров. Главным итогом иерархического кластерного анализа является дендрограмма или «сосульчатая диаграмма». При её интерпретации исследователи сталкиваются с проблемой того же рода, что и толкование результатов факторного анализа — отсутствием однозначных критериев выделения кластеров. В качестве главных рекомендуется использовать два способа — визуальный анализ дендрограммы и сравнение результатов кластеризации, выполненной различными методами.

Визуальный анализ дендрограммы предполагает «обрезание» дерева на оптимальном уровне сходства элементов выборки. «Виноградную ветвь» (терминология Олдендерфера М. С. и Блэшфилда Р. К.^[11]) целесообразно «обрезать» на отметке 5 шкалы Rescaled Distance Cluster Combine, таким образом будет достигнут 80 % уровень сходства. Если выделение кластеров по этой метке затруднено (на ней происходит слияние нескольких мелких кластеров в один крупный), то можно выбрать другую метку. Такая методика предлагается Олдендерфером и Блэшфилдом.

Теперь возникает вопрос устойчивости принятого кластерного решения. По сути, проверка устойчивости кластеризации сводится к проверке её достоверности. Здесь существует эмпирическое правило — устойчивая типология сохраняется при изменении методов кластеризации. Результаты иерархического кластерного анализа можно проверять итеративным кластерным анализом по методу k-средних. Если сравниваемые классификации групп респондентов имеют долю совпадений более 70 % (более 2/3 совпадений), то кластерное решение принимается.

Проверить адекватность решения, не прибегая к помощи другого вида анализа, нельзя. По крайней мере, в теоретическом плане эта проблема не решена. В классической работе Олдендерфера и Блэшфилда «Кластерный анализ» подробно рассматриваются и в итоге отвергаются дополнительные пять методов проверки устойчивости:

1. кофенетическая корреляция — не рекомендуется и ограниченна в использовании;
2. тесты значимости (дисперсионный анализ) — всегда дают значимый результат;
3. методика повторных (случайных) выборок, что, тем не менее, не доказывает обоснованность решения;
4. тесты значимости для внешних признаков пригодны только для повторных измерений;
5. методы Монте-Карло очень сложны и доступны только опытным математикам^{[источник не указан 96 дней]}.

В информатике

• Кластеризация результатов поиска — используется для «интеллектуальной» группировки результатов при поиске файлов, веб-сайтов, других объектов, предоставляя пользователю возможность быстрой навигации, выбора заведомо более релевантного подмножества и исключения заведомо менее релевантного — что может повысить юзабилити интерфейса по сравнению с выводом в виде простого сортированного по релевантности списка.
  • Clusty[1] — кластеризующая поисковая машина компании Vivísimo
  • Nigma — российская поисковая система с автоматической кластеризацией результатов
  • Quintura — визуальная кластеризация в виде облака ключевых слов
• Сегментация изображений (англ. image segmentation) — Кластеризация может быть использована для разбиения цифрового изображения на отдельные области с целью обнаружения границ (англ. edge detection) или распознавания объектов.
• Интеллектуальный анализ данных (англ. data mining) — Кластеризация в Data Mining приобретает ценность тогда, когда она выступает одним из этапов анализа данных, построения законченного аналитического решения. Аналитику часто легче выделить группы схожих объектов, изучить их особенности и построить для каждой группы отдельную модель, чем создавать одну общую модель для всех данных. Таким приемом постоянно пользуются в маркетинге, выделяя группы клиентов, покупателей, товаров и разрабатывая для каждой из них отдельную стратегию.

См. также

• Data mining
• Кластеризация документов
• Классификация документов
• Нейронные сети
• Самоорганизующаяся карта Кохонена

Примечания

1. ↑ Tryon R.C. Cluster analysis. — London: Ann Arbor Edwards Bros, 1939. — 139 p.
2. ↑ Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989. — 607 с.
3. ↑ Мандель И. Д. Кластерный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1988. — 176 с.
4. ↑ Хайдуков Д. С. Применение кластерного анализа в государственном управлении// Философия математики: актуальные проблемы. – М.: МАКС Пресс, 2009. — 287 с.
5. ↑ Классификация и кластер. Под ред. Дж. Вэн Райзина. М.: Мир, 1980. 390 с.
6. ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2002. — 576 с.
7. ↑ Жамбю М. Иерархический кластер-анализ и соответствия. — М.: Финансы и статистика, 1988. — 345 с.
8. ↑ Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. — М.: Статистика, 1977. — 128 с.
9. ↑ Бериков В. С., Лбов Г. С. Современные тенденции в кластерном анализе // Всероссийский конкурсный отбор обзорно-аналитических статей по приоритетному направлению «Информационно-телекоммуникационные системы», 2008. — 26 с.
10. ↑ Вятченин Д. А. Нечёткие методы автоматической классификации. — Минск: Технопринт, 2004. — 219 с.
11. ↑ Олдендерфер М. С., Блэшфилд Р. К. Кластерный анализ / Факторный, дискриминантный и кластерный анализ: пер. с англ.; Под. ред. И. С. Енюкова. — М.: Финансы и статистика, 1989—215 с.

Ссылки

На русском языке

• www.MachineLearning.ru — профессиональный вики-ресурс, посвященный машинному обучению и интеллектуальному анализу данных
• BaseGroup.ru: Кластеризация

На английском языке

• COMPACT — Comparative Package for Clustering Assessment. A free Matlab package, 2006.
• P. Berkhin, Survey of Clustering Data Mining Techniques, Accrue Software, 2002.
• Jain, Murty and Flynn: Data Clustering: A Review, ACM Comp. Surv., 1999.
• for another presentation of hierarchical, k-means and fuzzy c-means see this introduction to clustering. Also has an explanation on mixture of Gaussians.
• David Dowe, Mixture Modelling page — other clustering and mixture model links.
• a tutorial on clustering [2]
• The on-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David J.C. MacKay includes chapters on k-means clustering, soft k-means clustering, and derivations including the E-M algorithm and the variational view of the E-M algorithm.
• An overview of non-parametric clustering and computer vision
• «The Self-Organized Gene», tutorial explaining clustering through competitive learning and self-organizing maps.
• kernlab — R package for kernel based machine learning (includes spectral clustering implementation)
• Tutorial — Tutorial with introduction of Clustering Algorithms (k-means, fuzzy-c-means, hierarchical, mixture of gaussians) + some interactive demos (java applets)
• Data Mining Software — Data mining software frequently utilizes clustering techniques.
• Java Competitve Learning Application A suite of Unsupervised Neural Networks for clustering. Written in Java. Complete with all source code.
• Machine Learning Software — Also contains much clustering software.
• Fuzzy Clustering Algorithms and their Application to Medical Image Analysis PhD Thesis, 2001, by AI Shihab.
• Cluster Computing and MapReduce Lecture 4