Момент импульса

У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.

Момент импульса
$\vec L = \left[\vec r \times \vec p\,\right]$
Размерность	L2MT−1
Единицы измерения
СИ	м2·кг·с−1
СГС	см2·г·с−1
Примечания
псевдовектор

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом $\scriptstyle{\mathbf p}$ и моментом $\scriptstyle{\mathbf L}$

Определение

Момент импульса $\mathbf L$ частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

$~\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p},$

где $~\mathbf r$ — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, $~\mathbf p$ — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

$~\mathbf{L}=\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i,$

где $~\mathbf r_i, \mathbf p_i$ — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как $~\mathbf{L}=\int\mathbf{r}\times\mathbf{dp},$ где $\mathbf{dp}$ — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

$\mathbf{L}_\Sigma = \sum\limits_i \mathbf{L}_i$.

• Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам $~\mathbf r$ и $~\mathbf p$. Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

$L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,\;p},$

где $~\theta_{r,\;p}$ — угол между $~\mathbf r$ и $~\mathbf p$, определяемый так, чтобы поворот от $~\mathbf r$ к $~\mathbf p$ производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем $~\mathbf r$ в виде $~\mathbf{r} = \mathbf{r_{\parallel}}+\mathbf{r_{\perp}}$, где $~\mathbf{r_{\parallel}}$ — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а $~\mathbf{r_{\perp}}$ — аналогично, перпендикулярная ему. $~\mathbf{r_{\perp}}$ является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора $~\mathbf p$, которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору $~\mathbf{p_{\parallel}}$ и перпендикулярную ему $~\mathbf{p_{\perp}}$. Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для $~L$.

$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = (\mathbf{r_{\perp}}+\mathbf{r_{\parallel}})\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p} + \mathbf{r_{\parallel}}\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p}.$

$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times (\mathbf{p_{\perp}}+\mathbf{p_{\parallel}}) = \mathbf{r}\times\mathbf{p_{\perp}}.$

Сохранение углового момента

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки (или сумма моментов относительно любой неподвижной оси) для замкнутой системы остается постоянной со временем.

Производная момента импульса по времени есть момент силы:

$\tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},$

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

$\mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0,$

где $~\tau_{\rm ext}$ — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол $~\delta \varphi$, радиус-вектор частицы с номером $~i$ изменятся на $~\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i$, а скорости — $~\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i$. Функция Лагранжа $~\mathcal L$ системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

$\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0.$

С учетом $\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}$, где $~\mathbf p_i$ — обобщенный импульс $~i$-той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

$\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.$

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

$\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0,$

где, $\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i$ — момент импульса системы. Ввиду произвольности $\delta \varphi$, из равенства $\delta \mathcal L = 0$ следует $~\frac{d \mathbf L}{dt} = 0$.

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

$\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}} .$

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс $~p$ не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса $~ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

$~ \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c},$

где $~e$ — электрический заряд, $~c$ — скорость света, $~A$ — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы $m$ в электромагнитном поле:

$H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,$

где $~\varphi$ — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

$K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right).$

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на $\hbar$ ($h$ с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на $2 \pi$. Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен $\hbar/2$ . Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса $\hbar/2$.

В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных $~r_x$, $~r_y$, $~r_z$, $~p_x$, $~p_y$, и $~p_z$. Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и его компоненты по осям.

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

$\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}},$

где $\hat{\mathbf{r}}$ и $\hat{\mathbf{p}}$ — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

$\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla),$

где $\nabla$ — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

$[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0$, где $\varepsilon_{ijk}$ — Символ Леви-Чивиты;

и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:

$\left[L_i,\; H \right] = 0$

Симметрия вращения

Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

$-\frac{1}{\hbar^2} \mathbf{L}^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}$

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

$L^2 \mid l,\; m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) \mid l,\; m \rang$

$L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m \rang,$

где

$\lang \theta ,\; \varphi \mid l,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)$

— сферические функции.

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

Если имеется материальная точка массой $~m$, двигающаяся со скоростью $~\mathbf{v}$ и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором $~\mathbf{r}$, то момент импульса вычисляется по формуле:

$~\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v},$

где $\times$ — знак векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

$\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf{dL}} = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \, dm}.$

Можно переписать это через плотность $\rho$:

$\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \rho dV}.$

(Если считать, что $\rho(x,y,z)$ — обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).

Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, более общо — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

$~\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega},$

где $~I$ — момент инерции относительно оси вращения, $~\boldsymbol\omega$ — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):

$\mathbf{L} = \hat I \boldsymbol{\omega}$

• За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирается центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.

См. также

• Момент инерции
• Моменты инерции некоторых тел

Литература

• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.