Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Введены в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения $\xi$ с базой $B$ классы Понтрягина обозначаются символом $p_i(\xi)\in H^{4i}(B)$ и полагаются равными

$p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C)$,

где $\xi\otimes\mathbb C$ — комплексификация расслоения $\xi$, a $c_{i}$ — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

$p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots$.

Если $B$ — гладкое многообразие и расслоение $\xi$ явно не указывается, то предполагается что $\xi$ есть касательное расслоение $B$.

Свойства

• Через классы Понрягина выражаются L-класс Хирцебруха и $\hat A$-класс.
• Если $\xi$, $\eta$ — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      $p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)p(\eta)$ имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        $p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta)$.
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения $\xi$ справедливо равенство
      $p_k(\xi)=e(\xi)^2,$
  где $e(\xi)$ обозначает класс Эйлера (англ.).

Литература

• Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Дж. Милнор, Дж. Сташеф Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.

В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.