Теорема Парсеваля


Теорема Парсеваля

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна (равен) сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Следует заметить, что общий вид теоремы Парсеваля часто называют Теоремой Планшереля или Обобщенной формулой Рэлея. Теорема была доказана для рядов Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 году и была позднее применена к рядам Фурье.

Запись теоремы имеет вид

\int\limits_{-\infty}^{\infty} | x(t) |^2 dt   =   \int\limits_{-\infty}^{\infty} | \mathcal{F}\{x(t)\} |^2 df,

где \mathcal{F}\{\cdot\} обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной или пространственный сигнал x(t) с его представлением в частотной области X(f).

В дискретном виде теорему записывают следующим образом:

\sum_{i=0}^{N-1}  | x(i) |^2   =   {1\over N} \sum_{k=0}^{N-1} | X(k) |^2  ,

где X(k) представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала x(k), имеющего N отсчетов.

Теорема Парсеваля устанавливает равенство между энергией сигнала и энергией его спектра.

Пример кода на языке MATLAB, демонстрирующий теорему Парсеваля

N = 100; % количество отсчетов
x = randn(1,N); % нормальное распределение
Et = norm(x)^2; % или так: Et = sum(x.^2);
fprintf('Энергия сигнала во временной области: %f \n', Et);
 
X = fftn(x);
Ew = 1/N * norm(X)^2; % или так: Ew = 1/N * sum(X.^2);
fprintf('Энергия сигнала в частотной области: %f \n', Ew);
 
xnew = ifftn(X);
Etn = norm(xnew)^2; % или так: Etn = sum(xnew.^2);
fprintf('Энергия сигнала во временной области: %f \n', Etn);
 
Результат работы программы
-----------------------------
Энергия сигнала во временной области: 94.236108 
Энергия сигнала в частотной области: 94.236108 
Энергия сигнала во временной области: 94.236108

Литература

  1. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М.: «Высшая школа», 2000. — 462 с. — ISBN 5-06-003843-2
  2. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 4-е изд. — М.: «Радио и связь», 1986. — 512 с.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теорема Парсеваля" в других словарях:

  • теорема Парсеваля — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Parseval s theorem …   Справочник технического переводчика

  • Теорема Пифагора — Теорема Пифагора  одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 …   Википедия

  • ПАРСЕВАЛЯ - ПЛАНШЕРЕЛЯ ФОРМУЛА — см. Планшереля теорема …   Математическая энциклопедия

  • Пифагора теорема — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства …   Википедия

  • ПЛАНШЕРЕЛЯ ТЕОРЕМА — для каждой квадратично суммируемой функции интеграл сходится в L2 к нек рой функции при , то есть При этом сама функция f(х).представляется как предел в L2 при интегралов …   Математическая энциклопедия

  • Преобразование Фурье — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Фурье преобразование — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Спектральная плотность — В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье. Если процесс имеет… …   Википедия

  • Парсеваль, Марк-Антуан — Марк Антуан Парсеваль Marc Antoine Parseval des Chênes Дата рождения: 27 апреля 1755(1755 04 27) Место рождения: Розьер о Салин, Франция Дата смерти …   Википедия

  • Парсеваль — Парсеваль, Марк Антуан Марк Антуан Парсеваль Marc Antoine Parseval des Chênes Дата рождения: 27 апреля 1755(1755 04 27) Место рождения: Розьер Окс Салин (фр. Rosières aux Salines), Франция …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.