Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания (теория очередей) — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей ^[1]. В теории массового обслуживания используются методы теории вероятностей и математической статистики.

История

Теорию потока однородных событий, которая легла в основу теории массового обслуживания, разработал советский математик А. Я. Хинчин.^[2]

Первые задачи ТМО (Теории Массового Обслуживания) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом, в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Имеется телефонный узел (обслуживающий прибор), на котором телефонистки время от времени соединяют отдельные номера телефонов друг с другом. Системы массового обслуживания (СМО) могут быть двух видов: с ожиданием и без ожидания (то есть с потерями). В первом случае вызов (требование, заявка), пришедший на станцию в момент, когда занята нужная линия, остается ждать момента соединения. Во втором случае он «покидает систему» и не требует забот СМО.

Поток

Однородный поток

Основная статья: Поток однородных событий

Поток заявок однороден, если:

• все заявки равноправны,
• рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия

Поток без последействия, если число событий любого интервала времени ($t$, $t+x$) не зависит от числа событий на любом другом непересекающемся с нашим ($t$, $t+x$) интервале времени.

Стационарный поток

Поток заявок стационарен, если вероятность появления n событий на интервале времени ($t$, $t+x$) не зависит от времени $t$, а зависит только от длины этого участка.

Простейший поток

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.

Число $n$ событий такого потока, выпадающих на интервал $x$, распределено по Закону Пуассона:

$P(n,x) = \frac{(\lambda x)^n e^{-\lambda x}}{n!}$

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Мгновенная плотность

Мгновенная плотность (интенсивность) потока равна пределу отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени ($t$, $t+x$) к длине интервала ($x$), когда последний стремится к нулю.

$\lambda (t) = \lim_{x\to 0}\left(\frac{M(t+x)-M(t)}{x}\right)$

или, для простейшего потока,

$\lambda = \frac{M(x)}{x}$

где $M(x)$ равно математическому ожиданию числа событий на интервале $x$.

Формула Литтла

$~N^{*} = \lambda T$

Среднее число заявок в системе равно произведению интенсивности входного потока на среднее время пребывания заявки в системе.

Литература

1. ↑ Теория массового обслуживания//Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988, стр. 327-328
2. ↑ Словарь по кибернетике / Под редакцией академика В. С. Михалевича. — 2-е. — Киев: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии имени М. П. Бажана, 1989. — С. 486. — 751 с. — (С48). — 50 000 экз. — ISBN 5-88500-008-5

Библиография

1. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания / Рецензенты: кафедра математической статистики, теории надёжности и массового обслуживания факультета прикладной математики — процессов управления ЛГУ им. А.А. Жданова и д.т. н., профессор Р.Я. Судаков. — Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1982. — 256 с. — 20 000 экз.
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания
3. Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания
4. Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988
5. Лифшиц А. Л., Мальц Э. А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания
6. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Глава 10. Теория массового обслуживания. М., 1969, 368 стр. с илл.

См. также

• Система массового обслуживания
• Исследование операций