Уравнение Шрёдингера

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из важнейших уравнений физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае. Это подтверждается при более глубоком анализе теории: если размер и масса тела становятся макроскопическими и точность слежения за его координатой много хуже стандартного квантового предела, прогнозы квантовой и классической теорий совпадают, потому что неопределённый путь объекта становится близким к однозначной траектории.

Зависимое от времени уравнение

Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени^[1] :

Зависимое от времени уравнение (общий случай) $i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi$

Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера для частицы, движущейся в потенциальном поле, описываемом потенциалом $V(\mathbf{r},t)$ :

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера $i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)$

Формулировка

Общий случай

В квантовой физике вводится комплекснозначная функция $\! \Psi$, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения $\! \Psi$ в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$, в определенный момент времени t она будет иметь вид $\ \Psi \left( \vec{r}, t \right)$. В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\Delta} \Psi ( \vec{r} , t) + {E}_p ( \vec{r} ,t) \Psi ( \vec{r} , t ) = i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi (\vec{r},t) , \qquad ( 1 )$

где $\hbar = {h \over 2 \pi}$, $\! h$ — постоянная Планка; $\! m$ — масса частицы, $\! {E}_p ( \vec{r} ,t)$ — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ в момент времени $t$, $\! \Delta$ — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

$\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}.$

Случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае пси-функция является функцией трёх координат и $\! \Delta \Psi$ в декартовой системе координат заменяется выражением

$\! \Delta \Psi = {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} ,$

тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} \left( {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} \right) + {E}_p ( x , y , z ) \Psi = i \hbar {\partial \Psi \over \partial t} ,$

где $\hbar = {h \over 2 \pi}$, $\! h$ — постоянная Планка; $\! m$ — масса частицы, $\! {E}_p ( x , y , z )$ — потенциальная энергия в точке $\! ( x , y , z )$.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда $\! {E}_p$ не является функцией времени, можно записать в виде:

$\! \Psi ( \vec{r}, t) = \psi ( \vec{r} \,) {e}^{ - i E t / \hbar} , \qquad ( 2 )$

где функция $\! \psi ( \vec{r} \,)$ должна удовлетворять уравнению:

$\! - {{\hbar}^2 \over 2 m } \Delta \psi (\vec{r}\,) + {E}_p ( \vec{r} \,) \psi (\vec{r}\,) = E \psi (\vec{r}\,) , \qquad ( 3 )$

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для $\! \Psi$ (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции $\! {E}_p ( \vec{r} \,)$ совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции $\! {E}_p ( \vec{r} \,)$.

Важное значение имеет интерпретация величины $\! E$ в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при $\! t$ в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель $\! E$. В левой же части уравнения (3) функция $\! \psi$ умножается на потенциальную энергию $\! {E}_p ( \vec{r} \,)$. Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина $\! E$ должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что $\! E$ представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, $\! E$ действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией $\! \Psi ( \vec{r} , t )$.

Литература

• Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.

• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392с.

См. также

• Волновая функция
• Квантовая механика
• Законы Ньютона
• Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера
• Уравнение Дирака
• Уравнение Паули
• Уравнение Линдблада
• Уравнение фон Неймана
• Уравнение Гейзенберга
• Эрвин Шредингер
• Функции Йоста

Примечания

1. ↑ Shankar R. Principles of Quantum Mechanics. — 2nd. — Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. — P. 143. — ISBN 978-0-306-44790-7

Ссылки

• Сферически симметричные состояния электрона в атоме водорода