Задача двух тел

В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Задачу двух тел можно представить как две независимых задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена. В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.

Два тела с одинаковой массой, движущиеся по кругу вокруг общего центра масс по эллиптическим орбитам.

Два тела с небольшой разницей в массах движущиеся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Этот специфический тип орбиты подобен системе Плутон - Харон.

Постановка задачи

Пусть $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$ радиус-векторы двух тел, а $m_{1}$ и $m_{2}$ их массы. Наша цель определить траектории $\mathbf{x}_{1}(t)$ и $\mathbf{x}_{2}(t)$ для любого времени $t$, при заданных начальных координатах

$\mathbf{x}_{1}(t=0)$, $\mathbf{x}_{2}(t=0)$

и скоростях

$\dot{\mathbf{x}}_{1}(t=0)$, $\dot{\mathbf{x}}_{2}(t=0)$.

Второй закон Ньютона применительно к данной системе утверждает, что

$\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (1)$

$\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (2)$

где

$\mathbf{F}_{12}$ — сила действующая на первое тело из-за взаимодействием со вторым телом, и

$\mathbf{F}_{21}$ — сила действующая на второе тело со стороны первого.

Складывая и вычитая эти два уравнения, можно разделить одну задачу на две задачи с одним телом, которые могут быть решены независимо. "Сложение" уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс . В отличие от этого, "вычитание" уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор $\mathbf{r} \equiv \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}$ между массами изменяется со временем. Решение этих независимых задач может помочь в нахождении траекторий $\mathbf{x}_{1}(t)$ и $\mathbf{x}_{2}(t)$.

Движение центра масс (первая задача)

Сложение уравнений (1) и (2) приводит к равенству

$m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2} = (m_{1} + m_{2})\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0$

где мы использовали третий закон Ньютона $\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}$ и где

$\mathbf{x}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

позиция центра масс системы. Уравнение в итоге запишется в виде

$\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = 0$

Оно показывает, что скорость $\dot{\mathbf{x}}_{cm}$ центра масс постоянна. Отсюда следует, что полный момент количества движения $m_{1}\dot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\dot{\mathbf{x}}_{2}$ также сохраняется (сохранение импульса). Позиция и скорость центра масс может быть получена в любой момент времени.

Движения вектора смещения (вторая задача)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и преобразуя приходим к уравнению

$\ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}$

где мы снова использовали третий закон Ньютона $\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}$ и где $\mathbf{r}$ (определённый выше) - вектор смещения, направленный от второго тела к первому.

Сила между двумя телами должна быть функцией только $\mathbf{r}$ а не абсолютных положений $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$; в противном случае задача не имеет трансляционной симметрии, то есть законы физики менялись бы от точки к точке. Таким образом можно записать:

$\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})$

где $\mu$ -приведённая масса

$\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Как только мы найдём решение для $\mathbf{x}_{cm}(t)$ и $\mathbf{r}(t)$, первоначальные траектории можно записать в виде

$\mathbf{x}_{1}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t)$

$\mathbf{x}_{2}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t)$

как может быть показано подстановкой в уравнения для $\mathbf{x}_{cm}(t)$ и $\mathbf{r}(t)$.

Решение задачи двух тел

Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Таким образом, для задачи двух тел можно записать

$m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 + m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = 0.$

Проинтегрировав это уравнение два раза, получим

$m_1\dot{\mathbf{r}}_1 + m_2\dot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{a};$

$m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2 = \mathbf{a}t + \mathbf{b},$

где a и b – некоторые векторы.

Обозначив через r и M координату центра тяжести двух тел и их суммарную массу соответственно

$~M = m_1 + m_2;$

$~M\mathbf{r} = m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2,$

получим

$~M\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{a},$

то есть центр масс системы движется с постоянной скоростью.

Запишем силы, действующие на каждое из тел, следующим образом

$~ \ddot{\mathbf{r}}_1 = Gm_2\frac{\mathbf{r}}{r^3};\;\;\; \ddot{\mathbf{r}}_2 = -Gm_1\frac{\mathbf{r}}{r^3},$     где     $~\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1.$

Вычитая второе уравнение из первого, получим

$~\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{\mu\mathbf{r}}{r^3},$     где     $~\mu = G(m_1+m_2). \;\;\; (1)$

Векторно умножая последнее уравнение на r и интегрируя, получим

$~\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0;$

$~\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h}.$

Постоянный вектор h, являющийся постоянной интегрирования, называется кинетическим моментом системы. Взаимное движение тел происходит в плоскости, перпендикулярной этому вектору. Введём систему цилиндрических координат r, ?, z. Единичные векторы вдоль радиальной, трансверсальной и вертикальной оси обозначим как i, j и k. Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси составят

$~\dot{\mathbf{r}}_r = \mathbf{i}\dot r; ~~~\dot{\mathbf{r}}_\phi = \mathbf{j}r\dot\phi, ~~~\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{i}\dot r + \mathbf{j}r\dot\phi.$

Тогда

$~\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h};$

$~\mathbf{i}r \times (\mathbf{i}\dot r + \mathbf{j}r\dot\phi) = \mathbf{k}h;$

$~\mathbf{i}r \times \mathbf{j}r\dot\phi = \mathbf{k}h;$

$~\mathbf{k}r^2\dot\phi = \mathbf{k}h;$

$~r^2\dot\phi = h.$

В левой части последнего выражения стоит удвоенная площадь треугольника, описываемого радиус-вектором r за единицу времени. Таким образом, это соотношение является математической записью второго закона Кеплера.

Уравнение (1) умножаем скалярно на скорость и интегрируем. Получим

Подробный вывод  

$~\dot{\mathbf{r}}\cdot\ddot{\mathbf{r}} = -\mu\frac{\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}}{r^3};$

Распишем последнее выражение в координатах:

$~ \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dy}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{\mu}{\sqrt{\left( x^2+y^2\right)^3}} \left( x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} \right);$

$~ \frac{dx}{dt}d\left(\frac{dx}{dt}\right) + \frac{dy}{dt}d\left(\frac{dy}{dt}\right) = -\frac{\mu\left( xdx+ydy \right)}{\sqrt{\left( x^2+y^2\right)^3}}.$

Заметим, что

$~ d\left(r^2\right)=d\left(x^2+y^2\right)=2xdx+2ydy.$

Тогда

$~ \frac{dx}{dt}d\left(\frac{dx}{dt}\right) + \frac{dy}{dt}d\left(\frac{dy}{dt}\right) = -\frac{\mu}{2}\left(r^2\right)^{-3/2}d\left(r^2\right).$

Интегрируя обе части, получим

$~ \frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = -\frac{\mu}{2}\frac{\left(r^2\right)^{-1/2}}{-1/2} + C;$

$~\frac{v^2}{2} = \frac{\mu}{r} + C;$

$~\frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} = C.$

Последнее соотношение является выражением закона сохранения механической энергии в системе.

(Продолжение следует)

Движение двух тел в плоскости

Замечательно, что движение двух тел всегда происходит в плоскости. Определим линейный импульс $\mathbf{p} = \mu \dot{\mathbf{r}}$ и угловой момент

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

Скорость изменения углового момента равна моменту силы $\mathbf{N}$

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \times \mu\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \mu\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{N}$

однако законы движения Ньютона выполняются для всех физических сил, и гласят, что сила, действующая между двумя частицами (материальными точками) направлена по линии соединяющей их положения, то есть $\mathbf{F} \propto \mathbf{r}$. Отсюда $\mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0$ и угловой момент сохраняется. тогда вектор смещения $\mathbf{r}$ и его скорость $\dot{\mathbf{r}}$ лежат в плоскости перпендикулярной постоянному вектору $\mathbf{L}$.

Общее решение для силы, зависящей от расстояния

Часто полезно перейти в полярные координаты, поскольку движение происходит в плоскости и для многих физических задач сила $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ является функцией радиуса $r$ (центральные силы). Поскольку r-компонента ускорения равняется $\ddot{r} - r \dot{\theta}^{2}$, уравнение для r-компоненты вектора смещения $\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(r) \equiv F(r)$ можно переписать в виде

$\mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \mu r \omega^{2} = \mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r)$

где $\omega \equiv \dot\theta$ и угловой момент $L = \mu r^{2}\omega$ сохраняется. сохранение углового момента позволят найти решение для траектории $r(\theta)$ используя замену переменных. Переходя от $t$ к $\theta$

$\frac{d}{dt} = \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{d}{d\theta}$

получим уравнение движения

$\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r)$

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных $u \equiv \frac{1}{r}$ и умножение обоих частей уравнения на $\frac{\mu r^{2}}{L^{2}} = \frac{\mu}{L^{2} u^{2}}$

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{\mu}{L^{2}u^{2}} F(1/u)$

Применение

Для сил $F$ обратно пропорциональных квадрату расстояния, таких как гравитация или электростатика в классической физике получим

$F = \frac{\alpha}{r^{2}} = \alpha u^{2}$

для некоторых констант $\alpha$, уравнение для траекторий становится линейным

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = \frac{\alpha \mu}{L^{2}}$

Решение этого уравнения

$u(\theta) \equiv \frac{1}{r(\theta)} = \frac{\alpha \mu}{L^{2}} + A \cos(\theta - \theta_{0})$

где $A>0$ и $\theta_{0}$ константы. Это решение показывает, что орбита представляет собой коническое сечение, то есть эллипс, гиперболу или параболу, в зависимости от того меньше $A$ выражения $\frac{\alpha \mu}{L^{2}}$, больше или равно.

Задача двух тел в ОТО

Нормальная орбита любого тела, захваченного притяжением другого тела, представляет собой эллипс или окружность – именно такие орбиты мы наблюдаем в Солнечной системе. Однако общая теория относительности утверждает, что в окрестностях крайне массивных тел — там, где пространство оказывается сильно искривлено благодаря наличию колоссального гравитационного поля — спектр возможных стабильных орбит значительно расширяется. В подобных условиях физические объекты начинают вести себя весьма странно. Например, тело может подлететь к черной дыре по крутой параболе, сделать вокруг нее несколько стремительных коротких витков, а затем снова заложить вытянутую петлю – и так далее.

Пример

Любая классическая система, состоящая из двух частиц, по определению задача двух тел. Во многих случаях, однако, одно тело много тяжелее другого, как например в системе Земля и Солнце. В таких случаях более тяжёлая частица играет роль центра масс и задача сводится к задаче о движения одного тела в потенциале другого.^[1]

См. также

• Законы Кеплера
• Теорема о вириале
• Задача трёх тел
• Гравитационная задача N тел
• Задача Бертрана

Примечания

1. ↑ David Shiga 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits. NewScientist.com (13 февраля 2008). Архивировано из первоисточника 3 июня 2012.

Литература

• Курс теоретической физики Ландау и Лифшица
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9