Пространство непрерывных функций


Пространство непрерывных функций

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [a,b] функции (обычно обозначается {\mathrm C}[a,b], иногда C^0[a,b] или C^{(0)}[a,b]) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) {\mathbf C}(X) называется множество всех непрерывных ограниченных функций x:X\to Y со введённой на нём нормой:

||x||_{{\mathbf C}(X)}=\sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

||x||=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность x_n


x_n(t)=
\begin{cases}
1,\quad t\ge\frac{1}{n}\\
nt,\quad t\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\
-1,\quad t\le-\frac{1}{n}
\end{cases}

Его пополнение есть L_1[a,b] — пространство суммируемых функций.

Литература

  • А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
  • Л. А. Люстерник, В. В. Соболев Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
  • M. Reed, B. Simon Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
  • К. Иосида Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Пространство непрерывных функций" в других словарях:

  • Пространство дифференцируемых функций — Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве гладких функций с порядком гладкости ,… …   Википедия

  • НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО — нормированное пространство ограниченных непрерывных на топологич. пространстве Xфункций с нормой . Сходимость последовательности в пространстве С(X)означает равномерную сходимость. Пространство С(Х). является коммутативной банаховой алгеброй с… …   Математическая энциклопедия

  • Пространство Соболева — (в математике)  функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ( ), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева …   Википедия

  • ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИИ — топологическое множество Fотображений множества Xвтопологич. пространство Yс какой нибудь естественной топологией Тна F. При фиксированных множестве Xи пространстве Y получаются различные П. о. в зависимости от того, какие отображения включаются… …   Математическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера

  • Пространство —         в математике, логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся… …   Большая советская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО — логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в к рой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Напр., в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве… …   Математическая энциклопедия

  • Пространство Lp — Для термина «Lp» см. другие значения. Пространства Lp (читается «эль пэ»)  это пространства измеримых функций таких, что их p я степень интегрируема, где . Lp  важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, L2 (читается «эль… …   Википедия

  • БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… …   Математическая энциклопедия

  • Свойства функций, непрерывных в точке — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.