Спинор трёхмерного пространства

Спинор трёхмерного пространства

У этого термина существуют и другие значения, см. Спинор.

В трехмерном пространстве спинор — ориентированный (поляризованный) изотропный вектор.

Такие величины впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913. Они были вновь открыты в 1929 Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике. Он назвал их спинорами (англ. spin — вращаться).

Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй близкой алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x₁, x₂, x₃) из действительных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу

${\bold x}\rightarrow X= \left(\begin{matrix}x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&-x_3\end{matrix}\right).$

Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

• det X = — (длина x)².
• X² = (длина x)²I, где I — единичная матрица.
• $\frac{1}{2}(XY+YX)=({\bold x}\cdot{\bold y})I$
• $\frac{1}{2}(XY-YX)=iZ,$ где Z — матрица ассоциированная с векторным произведением z = x × y.
• Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости ортогональной u.
• Согласно линейной алгебре любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трех (вообще, нечетного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях перпендикулярных единичным векторам u₁ и u₂, то матрица U₂U₁XU₁U₂ представляет вращение R вектора x.

Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовем спинором вектор-столбец

$\xi=\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\end{matrix}\right]$

с комплексными компонентами ξ₁ и ξ₂. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если X → RXR^-1 есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Литература

• Cartan, Élie The Theory of Spinors. — Dover, 1981. — ISBN 0-486-64070-1