Тензор кривизны

Тензор кривизны

Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.

Назван в честь Бернхарда Римана.

Содержание

Определение

Тензор кривизны R(u,\;v) определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы u,\;v.

Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивиты, или в общем случае аффинную связность \nabla (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:

R(u,\;v)w=\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w-\nabla_{[u,\;v]} w,

где [u,\;v] — скобка Ли.

Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, u=\partial/\partial x_i и v=\partial/\partial x_j, и поэтому коммутируют ([u,\;v]=0), формула принимает упрощённый вид:

R(u,\;v)w=\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w,

таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных.

Примечание. Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком

Связанные определения

  • Линейное преобразование w\mapsto R(u,\;v)w называется преобразованием кривизны.
  • Если u и v — два перпендикулярных единичных вектора в точке p, то выражение \langle R(u,\;v)v,\;u\rangle зависит только от плоскости \sigma в T_p, которая натягивается на u и v.
    • Плоскость \sigma называется секционным направлением.
    • Величина \langle R(u,\;v)v,\;u\rangle называется секционной кривизной в направлении \sigma, и обычно обозначается K_\sigma.

Компоненты тензора кривизны

В системе координат x^\mu компоненты тензора кривизны определяются так:

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=dx^\rho(R(\partial_{\mu},\;\partial_{\nu})\partial_{\sigma}),

где \partial_{\mu}=\partial/\partial x^{\mu} — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии x^\mu. В терминах символов Кристоффеля:

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только гауссова кривизна.

Симметрии

Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);
\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle;
R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Последнее тождество было открыто Риччи, хотя называется первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки.

Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны должен иметь n^2(n^2-1)/12 независимых компонент.

Еще одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle.

Тождество Бьянки (ещё называется вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) привлекает ковариантные производные:

\nabla_uR(v,\;w)+\nabla_vR(w,\;u)+\nabla_wR(u,\;v)=0.

В заданной системе координат в окрестности некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны следующим образом. Круглые скобки обозначают симметризацию; индексы после точки-запятой означают частную производную.

R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc};
R_{abcd}=R_{cdab};
R_{a(bcd)}=R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc}=0 (первое тождество Бьянки);
R_{ab(cd;e)}=R_{abcd;e} + R_{abde;c} + R_{abec;d}=0 (второе тождество Бьянки).

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Тензор кривизны" в других словарях:

  • тензор кривизны — kreivio tenzorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. curvature tensor vok. Krümmungstensor, m rus. тензор кривизны, m pranc. tenseur de courbure, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Тензор Вейля — Тензор кривизны Вейля это часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием что построенный по нему тензор Риччи равен нулю. Назван в… …   Википедия

  • Тензор Риччи — Тензор Риччи, названный в честь Риччи Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический… …   Википедия

  • Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный»)  объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… …   Википедия

  • Тензор энергии-импульса — (ТЭИ)  симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1], и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем. Тензор энергии импульса является дальнейшим… …   Википедия

  • КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР — (Римана тензор) локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой наз.… …   Физическая энциклопедия

  • ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА — (ТЭИ) тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи, определяющий взаимодействие этих полей с гравитац. полем. В классич. теории ТЭИ выражается через вариационную производную по метрическому тензору gmv (х… …   Физическая энциклопедия

  • КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР — тензор типа (1,3), получающийся в разложении кривизны формы в локальном ко базисе на многообразии М п. В частности, в голономном кобазисе компоненты К, т. аффинной связности выражаются через объекты связности и их производные Аналогично… …   Математическая энциклопедия

  • Тензор Эйнштейна — ( )  тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви Чивита по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна симметричный тензор второго… …   Википедия

  • КРИВИЗНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — отображение пространства векторных полей на многообразии М, линейно зависящее от и задаваемое формулой здесь ковариантная производная вдоль X,[X, Y] коммутатор Xи Y. Отображение есть кривизны тензор определяемой линейной связности. М. И.… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Тензор кривизны» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»