Кривая Коха


Кривая Коха
Кривая Коха

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Содержание

Построение

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Снежинка Коха

Свойства

  • Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
  • Кривая Коха не имеет самопересечений.
  • Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна \ln4/\ln3\approx 1,26 поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

Вариации и обобщения

Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза.

Также можно построить кривую «Крест Коха»[источник не указан 1308 дней] на сторонах квадрата, при этом проводя построение «внутрь» квадрата.

Также можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего трегоугольника.

Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов (Césaro) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):

Вариант Иллюстрация Получение
1D, 85°, угол
Фрактал Cesaro
Фрактал Cesaro - вариант кривой Коха с углом между 60° и 90 ° (здесь 85°)
1D, 90°, угол
Квадратичная кривая 1 типа
Первые 2 итерации
1D, 90°, угол
Квадратичная кривая 2 типа
Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов
2D, треугольники
Поверхность Коха
Расширения кривой Коха на 2D (первые 3 итерации)
2D, 90°, угол
Квадратичная поверхность 1 типа
Расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее "вывернутой губке Менгера"[1]. На изображении слева - фрактал после второй итерации
Квадратичная поверхность (анимация)
.
2D, 90°, угол
Квадратичная поверхность 2 типа
Расширение квадратичного кривой 2 типа. На изображении слева - фрактал после первой итерации
2D, сферы
Haines сферическая снежинка (большой зелёный объект)
Eric Haines разработал фрактал сферическая снежинка, который является трехмерной версией снежинки Коха (используются сферы)
Von Koch curve.gif
200pm

Ссылки

Примечания

  1. Baird, Eric. Alt.Fractals: A visual guide to fractal geometry and design. Chocolate Tree Books (2011) ISBN 0955706831 - Chapter 3 "Not the Koch Snowflake", esp. pages 23-24



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Кривая Коха" в других словарях:

  • Кривая Жордана — Кривая или линия  геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана …   Википедия

  • Кривая Штейнера — Дельтоида Дельтоида (кривая Штейнера) плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой. Название кривая получила за сходство с греческой… …   Википедия

  • Кривая скорейшего спуска — Брахистохрона (от греч. βράχιστος кратчайший и χρόνος время) кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем: Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В,… …   Википедия

  • Кривая Урысона — (далее кривая)  наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… …   Википедия

  • Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства) Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Обобщения …   Википедия

  • Кривая Леви — Кривая Леви  фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в …   Википедия

  • Кривая погони — при различных параметрах Кривая погони  кривая, представляющая собой решение задачи о «погоне», которая ставится следующим образом. Пусть …   Википедия

  • Кривая — У этого термина существуют и другие значения, см. Кривая (значения). Кривая или линия  геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 …   Википедия

  • Кривая Безье — Кривые Безье или Кривые Бернштейна Безье были разработаны в 60 х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Pierre Bézier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau) из компании «Ситроен» …   Википедия

  • Кривая Минковского — Построение кривой Минковского Кривая Минковского классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьм …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Кривая Коха» >>