Интегральное исчисление

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Интегральное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений.

Длины, площади и объёмы

Черт. 1.

Черт. 2.

В сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи, относящиеся к И. исчислению. И в настоящее время основной задачей И. исчисления является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигуры S (черт. 1) разумеется предел, к которому стремится площадь вписанного в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причём эти стороны могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа.

Основная идея вычисления площади произвольных геометрических фигур состоит в следующем. Для начала, как посчитать площадь прямоугольника, то есть как доказать, что его площадь — это произведение длины на ширину. Если речь идёт о геометрии, где все построения нужно делать с помощью циркуля и линейки, то в такой геометрии, отношение длины к ширине есть число рациональное (см. Учебник Погорелова), то есть если длину принять за единицу, то ширина может быть выражена в качестве дроби m/n, где m и n натуральные числа. Для такого прямоугольника можно подобрать такой «единичный квадратик», который полностью покроет такой прямоугольник. Сторону «единичный квадратик» можно подобрать как d=НОД(m, n), где d натуральное число. Например, если мы имеем прямоугольник длиной 10 см и шириной 14 см, то такой прямоугольник может быть построен при помощи циркуля и линейки (если длину принять за единицы, его ширина будет 14/10=7/5).В качестве стороны «единичного квадратика» можно взять d=НОД(14,10)=2 см. Этот квадратик войдёт 5 раз в длину и 7 в ширину, всего нужно 5*7=35 таких «единичных квадратиков». Можно взять квадраты со стороной 1 см. Этот квадратик войдёт 10 раз в длину и 14 в ширину, всего нужно 10*14=140 таких «единичных квадратиков». Из этого построения видно, что размерность (см.) не играет никакой существенной роли при таком построении.

Площадь прямоугольного треугольника можно посчитать если заметить, что если отложить точно такой же треугольник рядом, то получится прямоугольник. Так как мы удвоили площадь треугольника, то площадь треугольника является половиной площади прямоугольника. Площадь параллелограмма определяется аналогичным, чуть более сложным образом, через площади прямоугольника и треугольника. Площадь многоугольников определяется при помощи площади треугольников.

Как определить площадь произвольной кривой? Например, кривой, являющиеся непрерывной функцией ограниченная прямыми x=a и x=b?

Геометрический смысл интеграла Римана

Если попытаться разбить такую фигуры на «единичные квадратики», то будут оставаться незаполненные «дыры» (как и в случае прямоугольников со сторонами отношение, которых не равно рациональному числу). В таком случае пытаются сделать два покрытия: прямоугольниками «сверху» и «снизу», то есть построить прямоугольники таким образом, чтобы они включали график функции или не включали. Здесь существенным является каким именно образом мы будем разбивать на прямоугольники (см. ниже). Второй момент заключается в том, что если мы будем брать разбиения всё мельче и мельче, то площадь покрытия «сверху» и площадь покрытия «снизу» должны сходиться и сходиться к какому-то конечному значению. Третий момент заключается в том, что площадь покрытия «сверху» и площадь покрытия «снизу» должны сходиться к одному и тому же числу.

Вернёмся к способу разбиения на прямоугольники. Существует как минимум два распространённых способа.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке. См. подробнее Интеграл Римана.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Вернёмся к определению интеграла по Риману.

Указанная задача решается при помощи интегрального исчисления, если криволинейный контур фигуры S задан уравнением, как это делается в аналитической геометрии (см. Аналитическая геометрия и Дифференциальное исчисление). Пусть уравнение заданной кривой S (черт. 2) есть y = f(x).

Определим площадь $P_0 M_0 M_n P_n$, образованную отрезком оси x-ов $P_0 P_n$, двумя ординатами $M_0 P_0$ и $M_n P_n$ и дугой $M_0 M_n$ кривой S. Ясно, что нахождение площади всякой криволинейной фигуры может быть сведено к нахождению площадей такого вида (то есть ограниченным тремя прямыми и дугой кривой). Проведем между крайними ординатами $M_0 P_0$ и $M_n P_n$ n-1 ординат $M_1 P_1$, $M_2 P_2$ …, соответствующих точкам деления $P_1$, $P_2$ … отрезка оси $P_0 P_n$. Эти точки выберем произвольно, с тем лишь ограничением, чтобы по мере увеличения числа n наибольший из отрезков был бесконечно мал (напр. точки $P_1, P_2$… можно выбрать на равных расстояниях друг от друга). Предполагая, как это имеет место на черт. 2, что ординаты кривой во все время при переходе от $M_0$ к $M_n$ возрастают, легко видеть, что криволинейная площадь фигуры S будет заключаться между следующими двумя суммами:

$S_n = f(x_0)(x_1 - x_0) + f(x_1)(x_2 - x_1) + ... + f(x_{n-1})(x_n - x_{n-1})$

и $S'_n = f(x_1)(x_1 - x_0) + f(x_2)(x_2 - x_1) + ... + f(x_n)(x_n - x_{n-1})$

где x _о = ОР _o, х ₁ = ОР ₁, x₂ = ОР ₂ ….. x_n = ОР _n

a f(x_o) = M_oP_o, f(x₁) = М ₁ Р ₁, f(x₂) = М ₂P₂……. f (х _n) = М _n Р _n.

Исторический очерк

Исторический очерк развития интегрального исчисления см. в статье Математический анализ.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
• Интегральное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

При написании этой статьи использовался материал из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона (1890—1907).

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.