Эффект Оберта

Эффект Оберта — в космонавтике — эффект, проявляющийся в том, что ракетный двигатель, движущийся с высокой скоростью, создает больше полезной энергии, чем такой же двигатель, движущийся медленно. Эффект Оберта вызывается тем, что при движении с высокой скоростью топливо имеет больше энергии доступной для использования (кинетическая энергия может превысить потенциальную химическую энергию), и эта энергия может использоваться для получения большей механической мощности. Назван в честь Германа Оберта, одного из ученых, разрабатывавших ракетные технологии, который впервые описал эффект.^[1]

Эффект Оберта используется при пролетах тел с включенным двигателем (powered flyby), в так называемом маневре Оберта (Oberth maneuver), при котором импульс двигателя применяется при наибольшем сближении с гравитирующим телом (при низком уровне гравитационного потенциала и высокой скорости). В таких условиях включение двигателя дает большее изменение кинетической энергии и достигаемой в результате маневра скорости, по сравнению с тем же импульсом, примененным вдали от тела. Для получения наибольшего выигрыша от эффекта Оберта, требуется чтобы космический аппарат смог создать максимальный импульс на наименьшей высоте; из-за этого маневр практически бесполезен при использовании двигателей с низкой тягой, например, ионного двигателя.

При объяснении принципа действия многоступенчатых ракет также можно пользоваться эффектом Оберта: верхние ступени создают больше кинетической энергии, чем ожидается при простом анализе химической энергии топлива, которое они несут. Исторически, непонимание этого эффекта приводило ученых к выводу о том, что межпланетные перелеты потребуют непрактичных количеств топлива.^[1]

Описание

Ракетные двигатели создают (в вакууме) одинаковую силу вне зависимости от их скорости. Двигатель, установленный на неподвижном аппарате (например, при проведении стендовых огневых испытаний) не производит полезной работы, химическая энергия топлива полностью уходит на ускорение газов. Но при движении ракеты, тяга двигателя действует на протяжении траектории движения. Сила, действующая при изменении положения тела производит механическую работу. Чем дальше (быстрее) ракета и полезная нагрузка переместятся за время работы двигателя, тем большую кинетическую энергию получит ракета, и тем меньшую — продукты сгорания.

Механическая работа определяется как

$\Delta E_k = F \cdot s$

где $E_k$ — кинетическая энергия, $F$ — сила (тягу двигателя рассматриваем как постоянную), $s$ — пройденное расстояние. Дифференцируя по времени, мы получим

$\frac{\operatorname{d}E_k}{\operatorname{d}t} = F \cdot \frac{\operatorname{d}s}{\operatorname{d}t}$

или

$\frac{\operatorname{d}E_k}{\operatorname{d}t} = F \cdot v$

где $v$ — скорость. Разделим на мгновенную массу $m$ чтобы выразить удельную энергию (specific energy; $e_k$):

$\frac{\operatorname{d}e_k}{\operatorname{d}t} = \frac F m \cdot v = a \cdot v$

где $a$ — вектор собственного ускорения (proper acceleration).

Легко заметить, что темп прироста удельной энергии каждой части ракеты пропорционален скорости. Интегрированием данного уравнения можно получить общий прирост удельной энергии ракеты.

Однако, интегрирование можно не выполнять, если длительность работы двигателя невелика. Например, когда аппарат падает в направлении перигея на любой орбите (как на эллиптической так и незамкнутой орбите), скорость относительно центрального тела увеличивается. Краткое включение двигателя в проградном движении в перицентре увеличивает скорость на величину $\Delta v$, как и при включении в любое другой время. Однако, из-за того что кинетическая энергия аппарата зависит от скорости квадратично, включение в перицентре дает непропорционально большое увеличение кинетической энергии в сравнении с другим временем включения.^[2]

Может показаться, что ракета получает энергию из ничего, нарушая закон сохранения энергии. Однако, любой прирост энергии ракеты скомпенсирован равным уменьшением энергии продуктов сгорания. Даже при низком потенциале гравитационного поля, когда рабочее тело изначально имеет большую кинетическую энергию, продукты сгорания покидают двигатель с меньшей общей энергией. Эффект был бы даже более значительным, если бы скорость истечения продуктов сгорания была равна скорости ракеты, то есть отработавшие газы оставлялись бы в пространстве с нулевой кинетической энергией (В СО центрального тела) и общей энергией равной потенциальной энергии. Противоположным случаем являются стендовые испытания: скорость двигателя равна нулю, его удельная энергия не увеличивается, а вся химическая энергия топлива преобразуется в кинетическую энергию продуктов сгорания.

На очень больших скоростях механическая мощность, передаваемая ракете, может превысить общую мощность, образуемую при сгорании топливной смеси, опять же, с кажущимся нарушением закона сохранения энергии. Однако топливо быстро движущейся ракеты несут не только химическую, но и собственную кинетическую энергию, которая на скоростях выше нескольких километров в секунду становится больше химической потенциальной энергии. При сгорании такого топлива часть его кинетической энергии возвращается к ракете вместе с энергией, полученной от сгорания. Это объясняет и чрезвычайно низкую эффективность начальных стадий полета ракеты, когда она движется медленно. Большая часть работы на этой стадии вкладывается в кинетическую энергию еще не использованного топлива. Часть этой энергии вернется позже, при сгорании на высокой скорости полета аппарата.

Параболический пример

Если космический корабль перемещается со скоростью v в момент запуска двигателя, который изменит скорость на величину Δv, то изменение специальной орбитальной энергии (англ.)русск. (SOE) составит:

$v \Delta v + \frac{1}{2}(\Delta v)^2$

Когда аппарат находится далеко от планеты, SOE состоит практически полностью из кинетической энергии, поскольку энергия в гравитационном поле стремится к нулю при удалении. Следовательно, чем больше v в момент включения двигателя, тем больше кинетическая энергия и выше конечная скорость.

Эффект становится более значительным при приближении к центральному телу (при попадании глубже в гравитационный колодец) в момент включения двигателя, так как при этом выше начальная скорость v.

Например, рассмотрим в системе отсчета Юпитера космический аппарат, находящийся на параболической пролетной орбите. Допустим, его скорость в перицентре Юпитера (перийовие) составит 50 км/с, когда он выполнит включение двигателя с $\Delta v$ в 5 км/с. Тогда его конечная скорость на большом удалении от Юпитера окажется 22.9 км/с, в 4.6 раза больше $\Delta v$.

Подробный расчет примера

Если импульсное включение двигателя с изменением скорости в Δv выполнено в перицентре параболической орбиты, то скорость до включения была равна второй космической скорости (скорости убегания, V_esc), а удельная кинетическая энергия после включения была равна:

$\begin{align} e_k &= \frac{1}{2} V^2 \\ &= \frac{1}{2} (V_\text{esc} + \Delta v )^2 \\ &= \frac{1}{2} V_\text{esc} ^ 2 + \Delta v V_\text{esc} + \frac{1}{2} \Delta v^2 \end{align}$

где $V = V_\text{esc} + \Delta v$

Когда космический аппарат покинет гравитационное поле планеты, потеря удельной кинетической энергии составит:

$\frac{1}{2} V_\text{esc}^2$

Таким образом будет сохранена энергия:

$\Delta v V_\text{esc} + \frac{1}{2} \Delta v^2$

которая превышает энергию, которую можно было бы получить включением двигателя вне гравитационного поля ($\frac{1}{2} \Delta v^2$), на:

$\Delta v V_\text{esc}$

Легко показать, что импульс умножается на коэффициент:

$\sqrt{1 + \frac{2 V_\text{esc}}{\Delta v}}$

Подставив скорость убегания Юпитера в 50 км/с (при перицентре орбиты на высоте в 100 тысяч км от центра планеты) и $\Delta v$ двигателя в 5 км/с, получим множитель в 4.6.

Сходный эффект будет получен на эллиптических и гиперболических орбитах.

Интересные факты

Существует двухимпульсный вариант маневра Оберта, в котором перед сближением с телом космический аппарат сначала делает тормозной импульс, чтобы достичь меньшей высоты, а затем делает разгоняющий импульс. В частности, такой маневр изучался участниками проекта Икар.^[3]

См. также

• Биэллиптическая переходная орбита
• Герман Оберт
• Гравитационный манёвр
• en:Propulsive efficiency
• Скорость убегания

Примечания

1. ↑ ^{1 2} NASA TT F-622. Ways to spaceflight, by Hermann Oberth (Translation of «Wege zur Raumschiffahrt», R. Oldenbourg Verlag, Munich-Berlin, 1929); 1970. Page 200—201
2. ↑ Atomic Rockets web site: nyrath at projectrho.com, May 2012
3. ↑ http://news.discovery.com/space/project-icarus-mission-analysis-110225.html WHAT WOULD AN INTERSTELLAR MISSION LOOK LIKE?] // Discovery.com, Feb 25, 2011. By Robert Adams (Lead Designer for the Mission Analysis and Performance Module, Project Icarus): «First described by Hermann Oberth in 1927, the two-burn escape maneuver can be very effective for this mission…»

Ссылки

• Oberth effect
• explanation of the effect by Geoffrey Landis.
• [1]  (рус.)