Функции Скорера

Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, представляющие собой общие решения дифференциального уравнения:

$y'' - xy = \frac1{\pi}$

Введены Р. Скорером в 1950 году.^[1]

Интегральное выражение функций Скорера:

$\mathrm{Gi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt$

$\mathrm{Hi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt$

Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:

$\begin{align} \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\ \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align}$

Примечания

1. ↑ R. S. Scorer Numerical evaluation of integrals... (англ.) // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1950. — Т. 3. — С. 107–112.

Литература

• Large-time behavior of solutions of linear dispersive equations