Формула Клейна

Зависимость дифференциального сечения рассеяния от угла рассеяния для различных значений энергий фотона

Фо́рмула Кле́йна — Ниши́ны — формула, описывающая полное сечение комптоновского рассеяния света на электроне.

Рассеяние электромагнитных волн на заряженных частицах, при котором падающая и рассеянная волна имеют разные частоты, называется комптоновским рассеянием. Дифференциальное и полное сечение такого рассеяния рассчитывается в квантовой электродинамике. Оно наблюдается при рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках атомов и рассеянии гамма-лучей на электронах и атомных ядрах.

Изменение длины волны $\Delta \lambda$ при комптоновском рассеянии определяется формулой:

$\Delta \lambda = 2\lambda_0 \sin^2 \theta /2, \lambda_0 = h/m_0c, \lambda_0 = 2,426\cdot 10^{-12}$ м,

где $\lambda_0$ — комптоновская длина волны электрона, $\theta$ — угол между направлением падающей и рассеянной волнами, $h$ — постоянная Планка, $m_0$ — масса электрона, а $c$ — скорость света.

Частота излучения $\omega^\prime$ после рассеяния определяется формулой Комптона:

$\omega^\prime = \frac{\omega}{1 + \epsilon (1 - \cos \theta)},$

где $\epsilon = \hbar \omega/m_0c^2,$ $\hbar = h/2\pi,$ а $\omega$ — частота падающей волны. Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне:

$\sigma_k = \pi r_0^2 \frac{m_0c^2}{\hbar \omega }\left(\text{ln}\;\frac{2\hbar \omega }{m_0c^2} + \frac{1}{2} \right).$

Эта формула и называется формулой Клейна — Нишины (Нисины). Ее получили Оскар Клейн и Нисина Ёсио в 1928 году. Она подтверждается экспериментально обнаруженным отклонением рассеяния фотонов на электронах при высоких энергиях от низкоэнергетичного томсоновского рассеяния, описываемого в рамках классической электродинамики. Если энергия $\hbar \omega$ падающего фотона значительно меньше массы электрона $m_0c^2, \hbar \omega \ll m_0c^2,$ то есть $\lambda \gg \lambda_0,$ где $\lambda_0$ — комптоновская длина волны электрона, то $\epsilon \rightarrow 0,$ и формула Клейна — Нишины сводится к классической формуле Томсона (в частности, отношение частот падающей и рассеянной волн $\omega / \omega^\prime = 1 + \epsilon (1 - \cos \theta)$ при этом теряет угловую зависимость и стремится к единице).

Интенсивность $I^\prime$ рассеянного излучения на расстоянии $R$ от центра рассеяния связана с интенсивностью $I$ падающей волны и отношением частот $\omega^\prime / \omega$ соотношением

$I^\prime = \frac{I}{R^2}\frac{\omega^\prime}{\omega}\frac{d\sigma}{d\Omega},$

где $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ — дифференциальное сечение рассеяния.

Литература

• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики. — Киев: Наук. думка, 1989. — 864 с.