Уравнение движения сплошной среды

Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды.

Историческая справка

Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г.^[1], краткая публикация в 1823 г.^[2], полная публикация — в 1828 г.^[3]).

Общий вид уравнения

В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид^[4]

$\rho\left(\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,$

$\rho\left(\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,$

$\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z,$

где $\rho(x,y,z,t)$ — плотность сплошной среды, $v_x(x,y,z,t)$, $v_y(x,y,z,t)$, $v_z(x,y,z,t)$ — проекции скорости среды, $p_{ij}$ — компоненты тензора напряжений, $F_x(x,y,z,t)$, $F_y(x,y,z,t)$, $F_z(x,y,z,t)$ — компоненты вектора массовой плотности объемных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчета не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.

Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.

В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид

$\rho \left(\frac{\partial v^i}{\partial t} + v^k\nabla_k v^i\right)=\nabla_k p^{ik}+\rho F^i, \quad i=1,2,3,$

где символ $\nabla_i$ обозначает ковариантную производную по $i$-ой координате, а по повторяющемуся индексу $k$ производится суммирование от одного до трёх.

Специальные формы уравнения

Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), $\vec v \equiv 0$, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия

$0=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,$

$0=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,$

$0=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z.$

Частными случаями уравнения движения являются

• уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости);
• уравнение Навье – Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости);
• уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).

Примечания

1. ↑ Трусделл К. Очерки по истории механики. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3
2. ↑ Cauchy Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non élastiques // Bulletin de la Société Philomatique. — 1823.
3. ↑ Cauchy Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique. — 1828.
4. ↑ Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 492 с.