Стандартные ошибки в форме Уайта

Стандартные ошибки в форме Уайта или состоятельные при гетероскедастичности стандартные ошибки (HC s.e. — Heteroskedasticity consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы МНК-оценок (в частности и стандартных ошибок) параметров линейной модели регрессии, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая состоятельна при гетероскедастичности случайных ошибок модели (в отличие от несостоятельной в этом случае классической оценки).

Сущность и формула

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

$V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(X^TVX)(X^TX)^{-1}$

где V — ковариационная матрца случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда $V=\sigma^2 I$) формула упрощается

$\hat {V}(\hat {b}_{OLS})={\sigma}^2(X^TX)^{-1}$

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: $s^2=ESS/(n-k)$, которая, как можно доказать, является несмещенной и состоятельной оценкой.

В общем случае, однако, необходима некоторая оценка неизвестной ковариационной матрицы. В частности, если предполагается наличие гетероскедастичности при отсутствии автокорреляции, ковариционная матрица случайных ошибок является диагональной и все диагональные элементы $\sigma^2_t$ неизвестны. В этом случае, общее выражение для ковариационной матрицы оценок можно записать в виде:

$V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}\sigma^2_{t}x_tx^T_t)(X^TX)^{-1}$

Уайт (White, 1980) показал, что если использовать в этой формуле вместо неизвестных дисперсий ошибок квадраты остатков регрессии, то получается состоятельная оценка:

$\hat {V}(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}e^2_{t}x_tx^T_t)(X^TX)^{-1}$

Необходимо отметить, что данная оценка является состоятельной только при отсутствии автокорреляции случайных ошибок (то есть как и было описано — в случае диагональной ковариационной матрицы случайных ошибок). В случае, если имеется еще и автокорреляция, то можно использовать стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста.

Замечание

Иногда приведенную формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель $n/(n-k)$. Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. также

• Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста
• Обобщенный метод наименьших квадратов

Литература

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
• William H. Greene Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.