- Процедура Кэли
-
Процедура Кэли-Диксона (процедура удвоения) — это рекурсивная процедура построения алгебр над полем вещественных чисел, с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.
Эта процедура позволяет построить комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.п. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с единицей.
Содержание
Кватернионы
Произвольный кватернион можно представить в виде или эквивалентно где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .
Возмём ещё один кватернион Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:
- .
Поскольку то переставляя множители получим:
Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида , удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с ).
Общий случай
Если для некоторых чисел и существуют понятия: умножения, деления, сопряженного числа и нормы числа как
то эти понятия можно ввести и для упорядоченых пар чисел :
- — закон умножения пар,
- — сопряжённая пара.
Свойства
- (расширенная) норма упорядоченой пары:
- — равна нулю только при a=b=0.
- (расширенное) деление определяется как или — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
- Если для чисел выполняется это выполняется и для упорядоченных пар:
- Если для упорядоченных пар выполено предварительное условие и условие альтернативности, то они образуют нормированную алгебру, поскольку:
Обобщения
Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «-1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см.Алгебры Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.
Примечания
- ↑ Albert A.A. «Quadratic forms permitting composition». Annals of Mathematics. Second Series, vol.43, pp.161–177
Ссылки
- Dickson, L. E. (1919), "«On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem»", en:Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865
- HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
- И.Л.Кантор, А.С.Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.
- Е.А.Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»
Числовые системы Счётные
множестваНатуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические Вещественные числа
и их расширенияВещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) Другие
числовые системыКардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион Категория:- Гиперкомплексные числа
Wikimedia Foundation. 2010.