Процедура Кэли

Процедура Кэли

Процедура Кэли-Диксона (процедура удвоения) — это рекурсивная процедура построения алгебр над полем вещественных чисел, с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.п. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с единицей.


Содержание

Кватернионы

Произвольный кватернион \ q = a + bi + cj + dk  можно представить в виде \ q = (a + bi) + (c + di)j или эквивалентно \ q = z_1 + z_2 * j, \quad z_1 = a + b*i, \quad z_2 = c + d*i, где \ z_1, z_2комплексные числа, поскольку \ i^2 = -1 выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а  k = i*j.

Возмём ещё один кватернион \ r=w_1+w_2 j. Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:

\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j +  z_2 j w_1 +  z_2 j w_2 j.

Поскольку \ zj=j \bar{z}, \; zw=wz, то переставляя множители получим: \ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) +  (w_2 z_1 +  z_2 \bar{w_1}) j.

Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида \ z_1 + z_2 * j, удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с z_2=w_2=0).

Общий случай

Если для некоторых чисел \ a и \ b существуют понятия: умножения, деления, сопряженного числа и нормы числа как \ |a|^2 = a \bar{a},

то эти понятия можно ввести и для упорядоченых пар чисел \ (a, b):

  • \ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c}) — закон умножения пар,
  • \ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b) — сопряжённая пара.

Свойства

  • (расширенная) норма упорядоченой пары:
\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2 — равна нулю только при a=b=0.
  • (расширенное) деление \ r / q определяется как \ \frac{\bar{r} q}{|q|^2} или \ \frac{q\bar{r} }{|q|^2} — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
  • Если для чисел выполняется \ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a}, это выполняется и для упорядоченных пар:
\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.
\ |rq|^2=(rq)\overline{(rq)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r}=|r|^2 \cdot |q|^2.

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «-1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см.Алгебры Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания

  1. Albert A.A. «Quadratic forms permitting composition». Annals of Mathematics. Second Series, vol.43, pp.161–177

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Процедура Кэли" в других словарях:

  • Алгебра Кэли — Алгебра Кэли  система гиперкомплексных чисел, 8 мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или …   Википедия

  • Бикватернион — Бикватернионы комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов. Содержание …   Википедия

  • Гиперкомплексное число — Гиперкомплексные числа различные расширения вещественных чисел, как то комплексное число, кватернионы и пр. Содержание …   Википедия

  • Комплексное число — Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Комплексные[1] числа (устар. Мнимые числа …   Википедия

  • Седенион — Седенионы  элементы 16 мерной алгебры. Каждый седенион  это линейная комбинация элементов 1 …   Википедия

  • Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч …   Википедия

  • Простое число — Простое число  это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы… …   Википедия

  • Число — У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число  основное понятие математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… …   Википедия

  • Натуральное число — Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.). Натуральные числа (естественные числа)  числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисл …   Википедия

  • Алгебраическое число — над полем   элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из . Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»