Группа (математика)


Группа (математика)
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Гру́ппа  — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Содержание

Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией \,*\,\colon G \times G \to G называется группой (G,*), если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: \forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c);
  2. наличие нейтрального элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
  3. наличие обратного элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)

Комментарии

  • Элемент a^{-1}, обратный элементу a, единственен.
  • В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:
\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G): (a*x=b)\and (y*a=b).
  • Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l*a=a\,) и левого обратного (a_l^{-1}*a=e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a^{-1}:
a_l^{-1}*a*a_l^{-1}=e_l*a_l^{-1}=a_l^{-1} \Rightarrow e_l*a*a_l^{-1}=e_l \Rightarrow a*a_l^{-1}=e_l
a*e_l=a*a_l^{-1}*a=e_l*a=a\,

Связанные определения

  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
    • Пары элементов a,\;b, для которых выполнено равенство a*b = b*a, называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
  • Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).
    • Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Примеры

  • Целые числа с операцией сложения. (\Z,+) группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
  • Свободная группа с двумя образующими (F_2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем \varepsilon (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a^{-1}, b и b^{-1} таких, что a не появляется рядом с a^{-1} и b не появляется рядом с b^{-1}. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1} и b^{-1}b.
  • Циклические группы состоят из степеней \langle a\rangle = \{a^n \,| \,n \in \mathbb{Z}\} одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают a*b или ab;
  • нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
  • обратный к a элемент записывается как a^{-1}.

Кратные произведения aa, aaa,\dots записывают в виде натуральных степеней a^2, a^3,\dots[1]. Для элемента a корректно[2] определена целая степень, следующим образом:

a^0=e,
a^{-n}=(a^{-1})^n.

Для степени элемента справедливо a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb Z. В частности, e^n=e, \forall n\in\mathbb Z.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
  • обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
  • обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
  • выражения вида a + a, a + a + a, -a — a, … обозначают символами 2a, 3a, −2a, …

Простейшие свойства

  • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
  • (a−1)−1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
  • (ab)−1 = b−1a−1.
  • Верны законы сокращения:
c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b,
a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b.
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
  • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
  • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
  • Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

История

Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле.

Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.

Обобщения

См. также

Примечания

  1. Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
  2. Корректность вытекает из единственности обратного элемента.

Литература

Популярная литература

Научная литература

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Группа (математика)" в других словарях:

  • Группа Ли — Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • Группа Пуанкаре — Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа …   Википедия

  • Группа Лоренца — Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • Группа — Сюда перенаправляется запрос «Группировка». На эту тему нужна отдельная статья …   Википедия

  • Группа (матем.) — Группа, одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий ≈ умножение чисел, сложение векторов,… …   Большая советская энциклопедия

  • МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… …   Философская энциклопедия

  • Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950 х… …   Википедия

  • МАТЕМАТИКА — Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… …   Энциклопедия Кольера

  • Математика —          I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.          «Чистая …   Большая советская энциклопедия

  • Группа — I Группа         одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий умножение чисел, сложение векторов,… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Группа (математика)» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.