Формула Гаусса—Остроградского

Формула Гаусса—Остроградского

Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

\iiint\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\;\mathbf F\cdot\mathbf{n}\,dS,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля \mathbf F, распространённый по некоторому объёму V, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)\omega=\int(P\cos\lambda+Q\cos\mu+R\cos\nu)s,

где \omega и s — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи \omega=d\Omega — элемент объёма, s=dS — элемент поверхности. P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Содержание

История

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830 гг.) на примере задач электродинамики[1].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[1]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла.

За рубежом формула называется формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. также

Литература

  • Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. 1’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

Примечания

  1. 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Формула Гаусса—Остроградского" в других словарях:

  • Формула Гаусса-Остроградского — Теорема Остроградского  Гаусса  утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n кратным интегралом по области и (n − 1) кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,...,vn) есть векторное поле… …   Википедия

  • ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА — одна из основных интегральных теорем векторного анализа, связывающая объемный интеграл с поверхностным: Здесь замкнутая поверхность, ограничивающая 3 мерную область V, а п проекция вектора на внеш. нормаль к поверхности. Получена Дж. Грином (G.… …   Физическая энциклопедия

  • Остроградского формула — Теорема Остроградского  Гаусса  утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n кратным интегралом по области и (n − 1) кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,...,vn) есть векторное поле… …   Википедия

  • Формула Остроградского — Формула Остроградского  формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного поля ,… …   Википедия

  • ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА — формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n кратным интегралом по области и ( п 1) кратным интегралом но ее границе. Пусть функции Xi=Xi(x1,x2,..., х п).вместе со своими частными производными , i=1, 2 …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Гаусса —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Теорема Гаусса (значения) — Существует несколько утверждений, называемых теоремой Гаусса: Теорема Гаусса (закон Гаусса) в электростатике и электродинамике и общая формулировка ее формальной части Теорема Гаусса Остроградского в векторном анализе. Теорема Гаусса Ванцеля о… …   Википедия

  • Магнитный закон Гаусса — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона …   Википедия

  • Остроградский, Михаил Васильевич — профессор математики, ординарный академик Императорской Академии Наук. М. В. Остроградский родился 12 сентября 1801 года в принадлежавшей его отцу деревне Пашенной, Кобелякского уезда, Полтавской губернии, где и провел свои детские годы.… …   Большая биографическая энциклопедия

  • СТОКСА ТЕОРЕМА — обобщение Стокса формулы, утверждениео равенстве интеграла от внеш. дифференциала dw дифференциальной формы поориентированному компактному многообразию М интегралу от самой формыпо ориентированному (согласованно с ориентацией многообразия М )краю …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.