Обратный маятник


Обратный маятник
Схематическое изображение перевернутого маятника на тележке. Стержень не обладает массой. Массу тележки и массу шара на конце стержня обозначим через М и m. Стержень имеет длину l.
Балансировка с бокалом вина, установленным на робота

Перевернутый маятник представляет собой маятник который имеет центр масс выше своей точки опоры,закрепленный на конце жесткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Содержание

Обзор

Перевернутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления ( ПИД-регуляторов , нейронных сетей , нечеткого управления , генетические алгоритмы и т.д.). Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести вызывая аэродинамическую нестабильность.[1] Простейшая демонстрация это балансировка карандаша на конце пальца, и эта проблема решена например в сегвее, самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника может является быстрое колебание вверх и вниз основания. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (с точки зрения его ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться удивительным образом. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, то движение маятника описывается функцией Матьё.

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия:

\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = 0

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения:

\ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа. Речь идет об приведенном выше рисунке, где \theta(t) угол маятника длиной l по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил F в направлении х. Определим x(t) положение тележки. Лагранжиан L = T - V системы:


L = \frac{1}{2} M v_1^2  + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

где v_1 является скоростью тележки, а v_2 это скорость материальной точки m. v_1 и v_2 может быть выражена через х и \theta путем записи скорости, как первой производной положения.


v_1^2=\dot x^2

v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left( \ell\cos\theta \right)}\right)^2

Упрощение выражения v_2 приводит к:


v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжиан теперь определяется по формуле:


L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

и уравнения движения:


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0

подставление L в этих уравнениях и упрощения приводят к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:


\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Эти уравнения являются нелинейными, но так как цель системы управления держать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв \theta \approx 0.

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

\left( -\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta    \right)

и скорость найдена через первую производную позиции:

v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta  + \ell^2\dot \theta ^2.

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:


 L = \frac{1 }{2} m \left ( \dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta  + \ell^2\dot \theta ^2   \right) - m g \left( y + \ell \cos \theta  \right )

уравнения движения следуют из:


{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0

в результате:


\ell \ddot \theta - \ddot y \sin \theta = g \sin \theta.

Если y колеблится в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, y = A \sin \omega t, то получаем дифференциальное уравнение:


\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье, например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся y, маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если y быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колеблеться вокруг вертикальной позиции (\theta = 0).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Примером является балансировка людей и предметов, например в акробатике или катание на одноколесном велосипеде. А также сегве́й —электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами.

Немецкая полиция на сегвеях.

Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов [2].

См. также

Ссылки

  • D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Дальнейшее чтение

  • Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Внешние ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Обратный маятник" в других словарях:

  • Список глав манги «Блич» — Обложка русскоязычного издания 1 го тома манги «Блич», выпущенного 9 декабря 2008 года Манга «Блич», созданная Тайто Кубо,[1] еженедельно выходит в японском жур …   Википедия

  • Часы прибор для измерения времени — Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Часы — Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • МЫШЦЫ — МЫШЦЫ. I. Гистология. Общеморфодогически ткань сократительного вещества характеризуется наличием диференцировки в протоплазме ее элементов специфич. фибрилярной структуры; последние пространственно ориентированы в направлении их сокращения и… …   Большая медицинская энциклопедия

  • Телеграф — (Telegraph) Определение телеграфа, виды телеграфа Определение телеграфа, виды телеграфа, телеграф в наше время Содержание Содержание Определение Примитивные виды связи: огонь, дым и отражённый свет Оптический Первые шаги Гелиограф Телеграф Гука… …   Энциклопедия инвестора

  • Телеграфия* — I. Телеграфы оптические. II. Магнитные и электростатические телеграфы. III. Применение химических действий тока. IV. Первые применения магнитных действий тока. Приборы с магнитными стрелками. V. Т. приборы с указателями. VI. Пишущие Т. приборы.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Телеграфия — I. Телеграфы оптические. II. Магнитные и электростатические телеграфы. III. Применение химических действий тока. IV. Первые применения магнитных действий тока. Приборы с магнитными стрелками. V. Т. приборы с указателями. VI. Пишущие Т. приборы.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС — явление раскачки колебаний при периодич. изменении параметров тех элементов колебат. системы, в к рых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоёмкие параметры). П. р. возможен в колебат. системах различной физ. природы. Напр., в… …   Физическая энциклопедия

  • Электрический телеграф — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Магнитные и электрические телеграфы. Постоянное стремление увеличить быстроту передачи информации на большие расстояния и сделать её бо …   Википедия

  • ТЕРМОДИНАМИКА — раздел прикладной физики или теоретической теплотехники, в котором исследуется превращение движения в теплоту и наоборот. В термодинамике рассматриваются не только вопросы распространения теплоты, но и физические и химические изменения, связанные …   Энциклопедия Кольера


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.