Обратный маятник

Схематическое изображение перевернутого маятника на тележке. Стержень не обладает массой. Массу тележки и массу шара на конце стержня обозначим через М и m. Стержень имеет длину l.

Балансировка с бокалом вина, установленным на робота

Перевернутый маятник представляет собой маятник который имеет центр масс выше своей точки опоры,закрепленный на конце жесткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Обзор

Перевернутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления ( ПИД-регуляторов , нейронных сетей , нечеткого управления , генетические алгоритмы и т.д.). Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести вызывая аэродинамическую нестабильность.^[1] Простейшая демонстрация это балансировка карандаша на конце пальца, и эта проблема решена например в сегвее, самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника может является быстрое колебание вверх и вниз основания. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (с точки зрения его ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться удивительным образом. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, то движение маятника описывается функцией Матьё.

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия:

$\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = 0$

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения:

$\ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta$

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа. Речь идет об приведенном выше рисунке, где $\theta(t)$ угол маятника длиной $l$ по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил F в направлении х. Определим $x(t)$ положение тележки. Лагранжиан $L = T - V$ системы:

$L = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta$

где $v_1$ является скоростью тележки, а $v_2$ это скорость материальной точки $m$. $v_1$ и $v_2$ может быть выражена через х и $\theta$ путем записи скорости, как первой производной положения.

$v_1^2=\dot x^2$

$v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left( \ell\cos\theta \right)}\right)^2$

Упрощение выражения $v_2$ приводит к:

$v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2$

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

$L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta$

и уравнения движения:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0$

подставление $L$ в этих уравнениях и упрощения приводят к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

$\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F$

$\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta$

Эти уравнения являются нелинейными, но так как цель системы управления держать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв $\theta \approx 0$.

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

$\left( -\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)$

и скорость найдена через первую производную позиции:

$v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2.$

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

$L = \frac{1 }{2} m \left ( \dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2 \right) - m g \left( y + \ell \cos \theta \right )$

уравнения движения следуют из:

${\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0$

в результате:

$\ell \ddot \theta - \ddot y \sin \theta = g \sin \theta.$

Если y колеблится в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, $y = A \sin \omega t$, то получаем дифференциальное уравнение:

$\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.$

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье, например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся $y$, маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если $y$ быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колеблеться вокруг вертикальной позиции ($\theta = 0$).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Примером является балансировка людей и предметов, например в акробатике или катание на одноколесном велосипеде. А также сегве́й —электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами.

Немецкая полиция на сегвеях.

Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов ^[2].

См. также

• Self-balancing unicycle
• Сегвей
• Двойной обратный маятник
• Гироскопический маятник
• Furuta pendulum

Ссылки

1. ↑ Rocket Stability
2. ↑ The Early History of Seismometry (to 1900)

• D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Дальнейшее чтение

• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Внешние ссылки

• YouTube - Обратный маятник
• Моделирование динамики обратного маятника на колебательной базе
• Моделирование обратного маятника в Matlab