Математика гармонии

Математика гармонии
Пентаграмма — репрезентация золотого сечения, элемент Математики Гармонии

Математика гармонии — одно из древнейших математических направлений, которое восходит в своих истоках к Пифагору, Платону и Евклиду. Главной целью «математики гармонии» является поиск математических соотношений (пропорций), числовых последовательностей, уравнений и геометрических фигур, которые выражают объективную гармонию мироздания. В «математике гармонии» понятие гармонии рассматривается, прежде всего, с математической, количественной, числовой точки зрения, что было характерно для пифагорейцев (следуя своей главной доктрине «Все есть число», пифагорейцы начали изучать гармонию с математической точки зрения).

Галактика Андромеды — Математика Гармонии наблюдается в строение космоса и галактик
Платоновы тела — Базовые элементы мироздания и Математики Гармонии
Пирамида Хеопса — построенная на законах гармонии и золотой пропорции
Парфенон — наглядный пример использования Математики Гармонии в архитектуре
Монна Лиза — соответствует пропорциям золотого сечения
Пачоли, Лука — иллюстрация к «De divina proportione» соотношение человеческого лица с золотым сечением.
Снежинка – одно из симметричных созданий природы
Проявление Математики Гармони в распределение лепестков «Филотаксис»
ДНК — соответствует пропорциям золотого сечения
Раковины — законы гармонии в природе
Фуллерен — Нобелевская премия связанная с Математикой Гармонии
Квазикристалл — Нобелевская премия связанная с Математикой Гармонии
Алое — спираль филотаксис
Подсолнечник — демонстрирует закон гармонии филотаксис
Генетика — Математика Гармонии в генетических кодах
Математика Гармони имеет прямое применение в создание новой компьютерной технологии
Растительный мир строится на Математике Гармонии
"Таблица Менделеева" — демонстрирует законы гармонии
Мир Животных пронизан законами гармонии
Ананас — растёт по принципу чисел Фибоначчи
Романеско (капуста) — растёт по принципу чисел Фибоначчи
Фракталы — элементы Математики Гармонии
Спирали на древней утвари
Виды спиральных галактик
Раковина Наутилус — демонстрирует законы гармонии

Содержание

Введение термина "математика гармонии"

Впервые термин «математика гармонии» был введен в небольшой статье «Harmony of spheres», помещенной в «The Oxford dictionary of philosophy‎»: «Гармония сфер. В этой доктрине, часто приписываемой Пифагору, происходит объединение математики, музыки и астрономии. Ее сущность состоит в том, что небесные тела, будучи огромными объектами, при своем движении должны производить музыку. Совершенство небесного мира требует, чтобы эта музыка была гармоничной, она скрыта от наших ушей только потому, что всегда присутствует. Математика гармонии была центральным открытием огромного значения для пифагорейцев».
Еще одно упоминание о «математике гармонии» применительно к древнегреческой математике[источник не указан 23 дня]: "Гармония была ключевой концепцией греков, с помощью которой осуществлялась связь трех значений. Его корневое значение было aro, соединение, то есть, гармония было то, что соединяет". Другое значение было пропорция, баланс вещей, который позволял простое соединение. Качество соединения и пропорции позже стали рассматриваться в музыке и других видах искусства.

Предпосылка для гармонии для греков была выражена во фразе "ничего лишнего. Эта фраза содержала таинственные положительные качества, которые стали объектом исследования лучших умов. Мыслители, такие как Пифагор, стремились раскрыть тайну гармонии как нечто невыразимое и освещенное математикой. Математика гармонии, изученная древними греками, по-прежнему является вдохновляющей моделью для современных ученых. Решающее значение для этого имело открытие количественного выражение гармонии, во всем удивительном разнообразии и сложности природы, через золотое сечение Ф (фи): , что приблизительно равно 1,618. Золотое сечение описано Евклидом в его «Началах»: «Говорят, что прямая линия, может быть разделена в крайнем и среднем отношении, когда, вся линия так относится к большей части, как большая часть к меньшей».

Таким образом, понятие «the mathematics of harmony» («математика гармонии») непосредственно ассоциируется с «золотым сечением»[источник не указан 23 дня] — важнейшим математическим открытием античной науки в области гармонии, которое в тот период называлось «делением отрезка в крайнем и среднем отношении». этот термин использован в докладе, сделанного автором в 1996 г. на Международной конференции «Числа Фибоначчи и их приложения» (Австрия Грац, июль 1996 г.). В этой статье название «математика гармонии» использовано как собирательное название для «гармоничной математики», которая развивалась в течение 2,5 тысячелетий от Пифагора, Платона, Евклида и привела к возникновению новых математических результатов. Эта статья стала началом современного этапа в развитии «математики гармонии» [4 — 7].

В 21 в. термин «математика гармонии» начал использоваться во многих авторитетных источниках, в частности, в статье Митропольский Ю. А. «Математика гармонии профессора Стахова». Философский сборник «Totallogy-XXI. Постнекласичні дослідження». №17/18. – Київ: ЦГО НАН України. – 2007. с. 323 – 337; в статьях Абачиев C. К. Математика гармонии глазами историка и методолога науки; Абачиев C. К. Математика гармонии: от разработки «по горизонтали» к разработке «по вертикали». Интернет журнал «Науковедение» Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ), №4, 2012. «Математика гармонии» является одним из древнейших математических направлений, которое начинает возрождаться в современной науке, что подтверждается широким использованием Платоновых тел и «золотого сечения» в современном теоретическом естествознании (фуллерены — Нобелевская Премия по химии 1996 г., квазикристаллы — Нобелевская Премия по химии 2011 г., экспериментальное подтверждение симметрии «золотого сечения» в квантовом мире, 2011 г. и др), математике (введение новых классов гиперболических функций, матриц Фибоначчи, решение 10-й и 4-й проблем Гильберта), экономике, компьютерных науках (системы счисления с иррациональными основаниями и концепция "компьютеров Фибоначчи) и др. В современной «математике гармонии» [4-7] получены новые математические результаты, которые могут стать полезными моделями для теоретического естествознания и компьютерной науки.

Основные этапы в развитии математики гармонии

Как упоминалось, для обозначения наиболее характерной особенности пифагорейской математики (проблема гармонии) был введен очень удачный термин «математика гармонии» [1, 2]. При этом наибольший интерес к «математике гармонии», то есть, к идеям Пифагора, Платона и Евклида, всегда проявлялся в периоды наивысшего расцвета «человеческого духа». В развитии «математики гармонии» можно выделить следующие важнейшие периоды.

Древнегреческий период

Условно можно считать, что этот период начинается с исследований Пифагора и Платона. Завершающим событием этого периода являются «Начала» Евклида . По мнению Прокла, одного из первых греческих комментаторов Евклида, Евклид создавал «Начала» с целью дать полную геометрическую теорию пяти «Платоновых тел», которые ассоциировались в древнегреческой науке с «гармонией Мироздания». При этом он попутно осветил некоторые новейшие достижения математики и ввел в рассмотрение «золотое сечение», которое было использовано Евклидом при создании геометрической теории «Платоновых тел».

Эпоха Возрождения

Этот период связан с именами таких выдающихся личностей этой эпохи, как Пьеро делла Франческа (1412—1492), Леон Баттиста Альберти (1404—1472), Леонардо да Винчи (1452—1519), Лука Пачоли (1445—1517), Иоганн Кеплер (1571—1630) . Именно в этот период появляются две книги, которые в наибольшей степени отражали идею «гармонии Мироздания». Первая из них — это книга «Divina Proprtione» («Божественная Пропорция») (1509), написанная выдающимся итальянским математиком и ученым монахом Лукой Пачоли под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи. Вторая книга — это книга Иоганна Кеплера «Harmonices Mundi» («Гармония мира») (1619).

Морис Клайн в своей книге «Математика. Утрата определенности» (1984) [8] подчеркивает причину, по которой религия поддерживала идею математического исследование гармонии как воплощение в Природе Божественного промысла: «Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум устроен по образу и подобию божественного разума. Следовательно, математическое знание не только представляет собой абсолютную истину, но и священно, как любая строка Священного Писания. Исследование природы — занятие столь же благородное, как и изучение Библии».

19-й век

Этот период связан с работами французских математиков Жака Филлипа Мари Бине (1786—1856), Франсуа Эдуарда Анатоля Люка (1842—1891), немецкого поэта и философа Адольфа Цейзинга (род. в 1810 г.) и немецкого математика Феликса Клейна (1849—1925). Именно в этот период Люка ввел название «числа Фибоначчи» для обозначения рекуррентной числовой последовательности, введенной известным итальянским математиком Фибоначчи при решении «задачи о размножении кроликов», а также ввел в рассмотрение «числа Люка». Бине ввел в рассмотрение так называемые «формулы Бине», связывающие числа Фибоначчи и Люка с «золотой пропорцией». Феликс Клейн в 1884 г. опубликовал книгу «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» [9], посвященную геометрической теории икосаэдра и ее приложениям в математике. Согласно Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, — своеобразные точки ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения. Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: «каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра».

Первая половина 20-го века

В первой половине 20 в. развитие «математики гармoнии» связано с именами российского профессора архитектуры Г. Д. Гримма (1865—1942) [10], французского исследователя Матилы Гика [11] и классика русской религиозной философии Павла Флоренского (1882—1937)

Вторая половина 20-го века

Во второй половине 20 в. и начале 21 в. интерес к этому направлению возрастает во всех сферах науки, в частности, в математике. В области математики наиболее яркими представителями этого направления стали канадский геометр Гарольд Коксетер (1907—2003) [12], советский математик Николай Воробьев (1925—1995) [13], американский математик Вернер Хоггатт (Verner Hoggatt) (1921—1981) http://en.wikipedia.org/wiki/Verner_Emil_Hoggatt,_Jr. [14], английский математик Стефан Вайда [15] и др. Возрождение идеи гармонии в современной науке определялось новыми научными реалиями. Проникновение Платоновых тел, «золотого сечения» и чисел Фибоначчи во все сферы теоретического естествознания (кристаллография, химия, астрономия, наука о Земле, квантовая физика, ботаника, биология, геология, медицина и др.), а также в информатику и экономические науки и стало главной причиной возрождения интереса к проблеме гармонии в современной науке и стимулом для развития «математики гармонии» [4 — 7]. Создание в США математической Фибоначчи-ассоциации (1963), начало издания математического журнала «The Fibonacci Quarterly» и регулярное проведение (начиная с 1984 г.) математической конференции «Fibonacci Numbers and Their Applications» являются наиболее яркими событиями в развитии современной «математики гармонии».

21-й век

В этот период важную роль в развитии этого направления сыграла группа ученых, предствляющих бывшую советскую науку (Стахов, Украина-Канада; Сороко, Беларусь; Боднар, Украина; Васютинский, Украина; Ткаченко, Украина; Петухов, Россия; Черепанов, Россия; Абачиев, Россия; Мартыненко, Россия; Аракелян, Армения; Арансон, Россия-США; Татаренко, Россия; Семенюта, Беларусь; Розин, Украина-США; Владимиров, Украина-Германия; Шелаев, Россия; Шенягин, Россия,Суббота, Марутаев, Шмелев, Шевелев, Россия; Петруненко, Беларусь; Цветков, Харитонов, Очинский, Россия; Якушко, Украина и др.). Ключевую роль в развитии этого направления сыграла книга Алексея Стахова[источник не указан 21 день], опубликованная в международном издательстве «World Scientific» при поддержке американских ученых — математиков Jay Kappraff и Louis Koufmann и философа Scott Olsen.

Гипотеза Прокла

С какой целью Евклид написал свои «Начала»?

Общепринятая точка зрения состоит в том, что главная цель Евклида состояла в том, чтобы изложить основные достижения греческой математики за 300 лет, предшествующих Евклиду, используя «аксиоматический метод» изложения материала. Действительно, «Начала» Евклида являются главным трудом греческой науки, посвященным аксиоматическому построению геометрии и математики. Однако, кроме «аксиоматической» точки зрения существует и другая точка зрения на мотивы, которыми руководствовался Евклид при написании «Начал». Эта точка зрения высказана греческим философом и математиком Проклом Диадохом (412—485), одним из первых комментаторов «Начал». Среди математических сочинений Прокла наиболее известным является его «Комментарий к первой книге „Начал“ Евклида». В этом «Комментарии» он выдвигает следующую необычную гипотезу, которую называют «гипотезой Прокла». Суть ее состоит в следующем. Как известно, XIII-я, то есть, заключительная книга «Начал», посвящена изложению теории пяти правильных многогранников, которые играли главенствующую роль в «Космологии Платона» и в современной науке известны под названием Платоновых тел. Именно на это обстоятельство и обращает внимание Прокл. Как подчеркивает Эдуард Сороко [16], по мнению Прокла, Евклид «создавал „Начала“ якобы не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти „Платоновых тел“, попутно осветив некоторые новейшие достижения математики».

Рисунок 1. Платоновы тела

Значение гипотезы Прокла для развития математики

Главный вывод из «гипотезы Прокла» состоит в том, что «Начала» Евклида, величайшее греческое математическое сочинение, было написано Евклидом под непосредственным влиянием греческой «идеи Гармонии», которая была связана с Платоновыми телами. Таким образом, «гипотеза Прокла» позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке «Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания» и «Космология Платона», основанная на правильных многогранниках, были воплощены в величайшем математическом сочинении греческой математики, «Началах» Евклида. С этой точки зрения можно рассматривать «Начала» Евклида как первую попытку создать «Математическую теорию гармонии мироздания», которая ассоциировалась в античной науке с Платоновыми телами. Это и есть главная тайна «Начал» Евклида, которая приводит к пересмотру истории возникновения математики, начиная с Евклида.

«Гипотеза Прокла» оказала большое влияние на развитие науки и математики. В 17 веке Иоганн Кеплер, развивая идеи Евклида, построил «Космический кубок» — оригинальную модель Солнечной системы, основанную на Платоновых телах. Она также оказала влияние на Феликса Клейна, который в работе [9] выдвинул предположение, что икосаэдр, одно из прекраснейших тел Платона, является главной геометрической фигурой математики, которая позволяет объединить все важнейшие разделы математики: геометрию, теорию Галуа, теорию групп, теорию инвариантов и дифференциальные уравнения.

«Гипотеза Прокла» и «ключевые» проблемы античной математики

Академик Колмогоров в книге [17] выделил две главные, то есть, «ключевые» проблемы, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения — проблему счета и проблему измерения. Однако, из «гипотезы Прокла» вытекает еще одна «ключевая» проблема — проблема гармонии, которая была связана с «Платоновыми телами» и «золотым сечением» — одним из важнейших математических открытий античной математики (Предложение II.11 «Начал» Евклида). Именно «идея гармонии» была положена Евклидом в основу «Начал», главной целью которых было создание геометрической теории «Платоновых тел», которые в «космологии Платона» выражали гармонию Мироздания. Но тогда из «гипотезы Прокла» вытекает новый взгляд на историю возникновения математики (Рис.2) изложенный в статье [18]. Уже на этапе зарождения математики было сделано ряд важных математических открытий, которые фундаментально повлияли на развитие математики и всей науки в целом. Важнейшими из них являются:

  1. Позиционный принцип представления чисел, сделанный вавилонскими математиками во 2-м тысячелетии до н. э. и воплощенный ими в Вавилонской 60-ричной системе счисления. Это важное математическое открытие лежит в основе всех последующих позиционных систем счисления, в частности, десятичной системы и двоичной системы — основы современных компьютеров. Это открытие, в конечном итоге, привело к формированию понятия натурального числа — важнейшего понятия, лежащего в основе математики.
  2. Доказательство существования несоизмеримых отрезков. Это открытие, сделанное в научной школе Пифагора, привело к переосмысливанию ранней пифагорейской математики, в основе которой лежал «принцип соизмеримости величин», и к введению иррациональных чисел — второго (после натуральных чисел) фундаментального понятия математики. В конечном итоге, эти два понятия (натуральные и иррациональные числа) и были положены в основу «Классической Математики».
  3. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»). Впервые описание этого открытия дано в «Началах» Евклида (Предложение II.11). Это предложение было введена Евклидом с целью создания полной геометрической теории «Платоновых тел» (в частности, додекаэдра), изложению которых посвящена заключительная (XIII-я) книга «Начал» Евклида.
Ключевые проблемы античной математики
Проблема счета Проблема измерения Проблема гармонии
Позиционный принцип представления чисел Несоизмеримые отрезки Деление в крайнем и среднем отношении
Теория чисел и натуральные числа Теория измерения и иррациональные числа 'Теория чисел Фибоначчи и "золотого сечения"
Классическая математика
Теоретическая физика
Информатика
Математика гармонии
"Золотая" теоретическая физика
"Золотая" информатика

Рисунок 2. «Ключевые» проблемы античной математики и новые направления в математике, теоретической физике и информатике

Согласно подходу (см. Рис.2), параллельно с «классической математикой» в науке, начиная с древних греков, развивалось еще одно математическое направление, которое восходит к пифагорейской математике и «космологии Платона» и названо в [1, 2, 3] «математикой гармонии». Эта математика лежит в основе «Начал» Евклида и, в отличие от «классической математики», акцентирует свое внимание не на «аксиоматическом подходе», а на геометрической «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (Предложение II.11) и на теории правильных многогранников, изложенной в Книге XIII «Начал» Евклида. И в развитии «математики гармонии» в течение нескольких тысячелетий принимали активное участие выдающиеся мыслители и ученые: Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Кеплер, Кассини, Бине, Люка, Клейн, а в 20-м веке — Воробьев и Хоггатт.

Юрий Матиясевич. Решение 10-й проблемы Гильберта

В своей знаменитой лекции 1900 г. Давид Гильберт изложил 10-ю проблему следующим образом:

«Задано Диофантово уравнение с некоторым числом неизвестных и рациональными целыми коэффициентами. Необходимо придумать процедуру, которая могла определить за конечное число операций — является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах».

Десятая проблема Гильберта была решена молодым русским математиком Юрием Матиясевичем. Его имя стало широко известным в 1970 г., когда он завершил последний недостающий шаг в «негативном решении» десятой проблемы Гильберта. Решение этой сложнейшей математической задачи было сделано Юрием Матиясевичем с использованием чисел Фибоначчи. Этот факт подтвержден самим Юрием Матиясевичем в следующих словах:

«Благодаря моей предыдущей работе, я понимал важность чисел Фибоначчи для решения 10-й проблемы Гильберта. Вот почему в течение лета 1969 года я читал с огромным интересом третье расширенное издание популярной книги по числам Фибоначчи, написанной Н. Н. Воробьевым из Ленинграда. Кажется невероятным, что в 20-м столетии можно было найти что-то новое о числах, введенных Фибоначчи еще в 13-м столетии в связи с размножением кроликов. Однако, новое издание книги содержало, кроме традиционного материала, некоторые оригинальные результаты автора. На самом деле Воробьев получил их на четверть столетия раньше, но он никогда их не публиковал. Его результаты привлекли мое внимание сразу же, но я был еще не способен использовать их непосредственно для построения Диофантовых представлений экспоненциального типа». В развитие вопроса Юрия Матиясевича, можно поставить следующий вопрос: а что бы случилось, если бы итальянский математик Фибоначчи не открыл числа Фибоначчи в 13 в.? Возможно, 10-я проблема Гильберта не была бы решена до сих пор. Конечно, теорема Воробьева, использованная Юрием Матиясевичем, является важным математическим результатом, но все же главным «виновником» решения 10-й проблемы Гильберта следует признать итальянского математика Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Еще в 1202 г. он опубликовал книгу «Liber abaci», в которой ввел новую числовую последовательность — числа Фибоначчи.

Главный вывод из этих рассуждений состоит в том, что решение одной из наиболее сложных математических проблем — 10-й проблемы Гильберта — получено с использованием теории чисел Фибоначчи [12-15]. И этот факт сам по себе поднимает на высокий уровень как теорию чисел Фибоначчи [12-15], так и «математику гармонии» [4].

Эстетика «математики гармонии» и новые математические результаты

Выдающемуся английскому математику, философу и общественному деятелю Лауреату Нобелевской Премии Бертрану Расселу (1872—1970) принадлежат следующие замечательные слова, подчеркивающие красоту математики:

«Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Это высказывание в наибольшей степени можно отнести к «математике гармонии», которая создавалась многими поколениями математиков в течение более двух тысячелетий.

Эстетика золотого сечения

В своих «Началах» Евклид уже в Книге II ввел «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», которая в современной науке известна как «золотое сечение». В течение многих тысячелетий «золотое сечение» вызывало восхищение благодаря его удивительным математическим и геометрическим свойствам (Табл.1, 2).

Таблица .1. Эстетика «золотого сечения»

1 Уравнение ЗС {{x}^{2}}-x-1=0
2 Золотая пропорция \Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}
3 Основное тождество {{\Phi }^{n}}={{\Phi }^{n-1}}+{{\Phi }^{n-2}}=\Phi \times {{\Phi }^{n-1}};\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...
4 Представление в виде цепной дроби \Phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}}
5 Представление в радикалах \Phi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}

В Табл.1 приведены свойства «золотого сечения», которые выделяют его среди других иррациональных чисел. Например, свойство 2 показывает, что последовательность степеней «золотой пропорции» {{\Phi }^{n}}\left( n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \right) обладает одновременно мультипликативным и аддитивным свойствами, что является причиной широкого распространия «золотых спиралей» в живой природе. Свойство 4 выделяет «золотую пропорцию» среди других иррациональных чисел. Уникальность предсталения «золотой пропорции» в виде цепной дроби состоит в том, что это наиболее медленно сходящаяся цепная дробь. На это свойство обратили внимание советскиие математики Хинчин и Воробьев.

Таблица.2. Геометрические фигуры, основанные на «золотом сечении»

1 Додекаэдр и икосаэдр Dodecahedron.gif Icosahedron.gif 2 Золотой прямоугольник Golden spiral in rectangles.svg
3 Пентагон и пентаграмма Pentagon.png Golden ratio - Pentagram.png 4 Золотой равнобедренный треугольник Golden triangle.svg

Эстетика чисел Фибоначчи и Люка

Числа Фибоначчи были введены в 13 в. знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи).

В Табл.3 приведены широко известные математические свойства чисел Фибоначчи и Люка, полученные математиками прошлого: Фибоначчи (свойство 1), Люка (свойство 1 и 2), Кассини (свойство 3), Кеплером (свойство 4), Бине (свойство 5). Эстетический характер этих результатов не требует особых доказательств.

Таблица 3. Эстетика чисел Фибоначчи и Люка

1 Рекуррентные соотношения для чисел Фибоначчи и Люка {{F}_{n}}={{F}_{n-1}}+{{F}_{n-2}};\quad {{F}_{1}}={{F}_{2}}=1
{{L}_{n}}={{L}_{n-1}}+{{L}_{n-2}};\quad {{L}_{1}}=1,\ {{L}_{2}}=3
2 Расширенные числа Фибоначчи и Люка \begin{matrix}
   n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6  \\
   {{F}_{n}} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8  \\
   {{F}_{-n}} & 0 & 1 & -1 & 2 & -3 & 5 & -8  \\
   {{L}_{n}} & 2 & 1 & 3 & 4 & 7 & 11 & 18  \\
   {{L}_{-n}} & 2 & -1 & 3 & -4 & 7 & -11 & 18  \\
\end{matrix}
3 Формула Кассини F_{n}^{2}-{{F}_{n-1}}{{F}_{n+1}}={{(-1)}^{n+1}};\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...
4 Формула Кеплера \underbrace{\lim }_{n\to \infty }\frac{{{F}_{n}}}{{{F}_{n-1}}}=\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}
5 Формула Бине

\begin{align}
  & {{F}_{n}}=\left\{ \begin{matrix}
   \quad \ \frac{{{\Phi }^{n}}+{{\Phi }^{-n}}}{\sqrt{5}}\quad \quad for\quad \quad n=2k+1;  \\
   \quad \frac{{{\Phi }^{n}}-{{\Phi }^{-n}}}{\sqrt{5}}\quad \quad for\quad \quad n=2k\quad   \\
\end{matrix} \right. \\ 
 & {{L}_{n}}=\left\{ \begin{matrix}
   {{\Phi }^{n}}+{{\Phi }^{-n}}\quad \quad for\quad n=2k;  \\
   \ \ \ {{\Phi }^{n}}-{{\Phi }^{-n}}\quad \quad for\quad n=2k+1  \\
\end{matrix} \right. \\ 
\end{align}

6 Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

\begin{matrix}
   sFs=\frac{\begin{matrix}
   \mathop{\Phi }^{x} & - & \mathop{\Phi }^{-x}  \\
\end{matrix}}{\sqrt{5}};\quad cFs=\frac{\begin{matrix}
   \mathop{\Phi }^{x} & + & \mathop{\Phi }^{-x}  \\
\end{matrix}}{\sqrt{5}}  \\
   \begin{matrix}
   \mathop{sLs=\Phi }^{x} & - & \mathop{\Phi }^{-x};\quad \begin{matrix}
   \mathop{cLs=\Phi }^{x} & + & \mathop{\Phi }^{-x}\quad   \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix}

7 Матрицы Фибоначчи

Q=\left( \begin{matrix}
   1 & 1  \\
   1 & 0  \\
\end{matrix} \right);\quad {{Q}^{n}}=\left( \begin{matrix}
   {{F}_{n+1}} & {{F}_{n}}  \\
   {{F}_{n}} & {{F}_{n-1}}  \\
\end{matrix} \right);\quad \det \left( {{Q}^{n}} \right)={{\left( -1 \right)}^{n}}

8 Золотые Матрицы

\begin{matrix}
   {{Q}_{0}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix}
   cFs(2x+1) & sFs(2x)  \\
   sFs(2x) & cFs(2x-1)  \\
\end{matrix} \right);\quad \det {{Q}_{0}}\left( x \right)=+1  \\
   {{Q}_{1}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix}
   sFs(2x+2) & cFs(2x+1)  \\
   cFs(2x+1) & sFs(2x)  \\
\end{matrix} \right);\quad \det {{Q}_{0}}\left( x \right)=-1  \\
\end{matrix}

Новыми математическими результатами, полученными в 20 и 21 вв. являются гиперболические функции Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, Розин, п.6 Табл.3) [28, 29], которые использованы в новой геометрической теории филлотаксиса, разработанной Олегом Боднаром [30]. Матрицы Фибоначчи были введены американским математиком Вернером Хоггатом [14], а «золотые» матрицы были введены Алексеем Стаховым [38]. Эти матрицы были использованы Стаховым и Арансоном для введения преобразований Фибоначчи-Лоренца и «золотой» интерпретации специальной теории относительности [4].

Эстетика p-чисел Фибоначчи и Люка

Не меньшее эстетическое впечатление производят и новейшие результаты в области «математики гармонии», такие, как p-числа Фибоначчи и Люка (Таблица 4). Связь чисел Фтбоначчи с треугольником Паскаля была обнаружена американским математиком Пойя [31]. p-числа Фибоначчи и золотые р-сечения как обобщения классических чисел Фибоначчи и золотого сечения, были введены в книге [20]. Золотые p-сечения были использованы Эдуардом Сороко для формулировки «закона структурной гармонии систем» [16]. Доказано, что p-числа Фибоначчи могут быть использованы для описания математических закономерностей деления биологических клеток [32] и моделирования различных физических процессов [33, 34].

Таблица.4. Эстетика p-чисел Фибоначчи и золотых p-пропорций

1 Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля (Пойа)
Pascal triangle Fibonacci.png
2 Рекуррентное соотношение для p-чисел Фибоначчи {{F}_{p}}\left( n \right)={{F}_{p}}\left( n-1 \right)+{{F}_{p}}\left( n-p-1 \right)
{{F}_{p}}\left( 1 \right)={{F}_{p}}\left( 2 \right)=...={{F}_{p}}\left( p+1 \right)=1
3 Представление p-чисел Фибоначчи с помощью биномиальных коэффициентов

{{F}_{p}}(n+1)=C_{n}^{0}+C_{n-p}^{1}+C_{n-2p}^{2}+C_{n-3p}^{3}+...

4 Уравнение золотой p-пропорции {{x}^{p+1}}-{{x}^{p}}-1=0\to {{\Phi }_{p}}- Золотая p-пропорция, положительный корень уровнения
5 Формула Кеплера для p-чисел Фибоначчи \underbrace{\lim }_{n\to \infty }\frac{{{F}_{p}}\left( n \right)}{{{F}_{p}}\left( n-1 \right)}={{\Phi }_{p}}
6 Основное тождество для золотых p-пропорций \begin{align}
  & \Phi _{p}^{n}=\Phi _{p}^{n-1}+\Phi _{p}^{n-p-1}={{\Phi }_{p}}\times \Phi _{p}^{n-1},\ n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \\ 
 & p=0:\ \ {{2}^{n}}={{2}^{n-1}}+{{2}^{n-1}}=2\times {{2}^{n-1}},n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \\ 
 & p=1:\ \ {{\Phi }^{n}}={{\Phi }^{n-1}}+{{\Phi }^{n-2}}=\Phi \times {{\Phi }^{n-1}},n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \\ 
\end{align}

Таким образом, как вытекает из анализа математических формул и геометрических фигур, приведенных в Табл. 1 — 4, «математика гармонии» [4], которая создавалась многими поколениями выдающихся ученых и мыслителей, начиная с античного периода, несомненно, обладает высоким совершенством и исключительными эстетическими свойствами. И «принцип математической красоты» Дирака применительно к «гармонической математике» уже широко воплощается в выдающихся современных научных открытиях, основанных на математических соотношениях и фигурах, полученных еще в античной науке. Два из них (квазикристаллы и фуллерены) уже удостоены Нобелевской Премии.

Лямбда-числа Фибоначчи и «металлические пропорции»

Лямбда-числа Фибоначчи и Люка

Современная «математика гармонии» [4] является активно развивающимся направлением современной науки и математики. В конце 20-го и начале 21-го вв. сразу несколько исследователей из разных стран — аргентинский математик Вера Шпинадель [35], французский математик египетского происхождения Мидхат Газале [36], американский математик Джей Каппрафф [37], армянский философ и физик Грант Аракелян [44], российский исследователь Виктор Шенягин [45], украинский физик Николай Косинов [46], российский исследователь Александр Татаренко [47], испанские математики Falcon Sergio, Plaza Angel [43] и др. независимо друг от друга начали изучать новый класс рекуррентных числовых последовательностей, которые являются обобщением классических чисел Фибоначчи. Эти числовые последовательности, названные в [39-41] λ-числами Фибоначчи, привели к открытию нового класса математических констант, названных аргентинским математиком Верой Шпиналель «металлическими пропорциями» [35]. Количество металлических пропорций теоретически бесконечно, а их частным случаем является классическая золотая пропорция. В книге Мидхата Газале [36], а позже в работе [42] были введены так называемые «формулы Газале», которые задают аналитическое выражение для λ-чисел Фибоначчи и λ-чисел Люка через металлические пропорции. С использованием формул Газале в работе [42].были разаботаны гиперболические λ-функции Фибоначчи и Люка. Используя эти функции, Алексей Стахов и Самуил Арансон пришли к оригинальному решению 4-й проблемы Гильберта [39-41]. В таблице 5 приведены основные математические соотношения и тождества для чисел Фибоначчи и Люка и «металлических пропорций».

Таблица 5. Эстетика λ чисел Фибоначчи \left( \lambda >0 \right) и «металлических пропорций»

1 Рекуррентные соотношения для λ-чисел Фибоначчи и Люка {{F}_{\lambda }}\left( n+2 \right)=\lambda {{F}_{\lambda }}\left( n+1 \right)+{{F}_{\lambda }}\left( n \right);\quad {{F}_{\lambda }}\left( 0 \right)=0,{{F}_{\lambda }}\left( 1 \right)=1
{{L}_{\lambda }}\left( n+2 \right)=\lambda {{L}_{\lambda }}\left( n+1 \right)+{{L}_{\lambda }}\left( n \right);\quad {{L}_{\lambda }}\left( 0 \right)=2,{{L}_{\lambda }}\left( 1 \right)=\lambda
2 Формула Кассини F_{\lambda }^{2}\left( n \right)-{{F}_{\lambda }}\left( n-1 \right){{F}_{\lambda }}\left( n+1 \right)={{\left( -1 \right)}^{n+1}};\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...
3 Металлические пропорции {{x}^{2}}-\lambda x-1=0\to {{\Phi }_{\lambda }}=\frac{\lambda +\sqrt{4+{{\lambda }^{2}}}}{2}
4 Основное тождество \Phi _{\lambda }^{n}=\lambda \Phi _{\lambda }^{n-1}+\Phi _{\lambda }^{n-2}={{\Phi }_{\lambda }}\times \Phi _{\lambda }^{n-1}
5 Представление в виде цепной дроби {{\Phi }_{\lambda }}=\lambda +\frac{1}{\lambda +\frac{1}{\lambda +\frac{1}{\lambda +...}}}
6 Представление в радикалах {{\Phi }_{\lambda }}=\sqrt{1+\lambda \sqrt{1+\lambda \sqrt{1+\lambda \sqrt{1+...}}}}
7 Формулы Газале {{F}_{\lambda }}(n)=\frac{\Phi _{\lambda }^{n}-{{(-1)}^{n}}\Phi _{\lambda }^{-n}}{\sqrt{4+{{\lambda }^{2}}}};\quad {{L}_{\lambda }}(n)=\Phi _{\lambda }^{n}+{{(-1)}^{n}}\Phi _{\lambda }^{-n}
8 Гиперболические λ-функции Фибоначчи и Люка s{{F}_{\lambda }}(x)=\frac{\Phi _{\lambda }^{x}-\Phi _{\lambda }^{-x}}{\sqrt{4+{{\lambda }^{2}}}};\quad c{{F}_{\lambda }}(x)=\frac{\Phi _{\lambda }^{x}+\Phi _{\lambda }^{-x}}{\sqrt{4+{{\lambda }^{2}}}}
s{{L}_{\lambda }}(x)=\Phi _{\lambda }^{x}-\Phi _{\lambda }^{-x};\quad c{{L}_{\lambda }}(x)=\Phi _{\lambda }^{x}+\Phi _{\lambda }^{-x}

Формула Кассини для λ-чисел Фибоначчи

Приведеное в табл.3 формула Кассини (формула 3) справдлива и для λ-чисел Фибоначчи. В [7] доказано следующее тождество λ-чисел Фибоначчи, справедливое для любого λ=1,2,3,…: F_{\lambda }^{2}\left( n \right)-{{F}_{\lambda }}\left( n-1 \right){{F}_{\lambda }}\left( n+1 \right)={{\left( -1 \right)}^{n+1}} (1)

Лямбда-числа Фибоначчи представлены в табл.6.

Таблица 6. Расширенные λ-числа Фибоначчи

\begin{matrix}
   n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8  \\
   {{F}_{1}}\left( n \right) & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21  \\
   {{F}_{1}}\left( -n \right) & 0 & 1 & -1 & 2 & -3 & 5 & -8 & 13 & -21  \\
   {{F}_{2}}\left( n \right) & 0 & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 & 70 & 169 & 408  \\
   {{F}_{2}}\left( -n \right) & 0 & 1 & -2 & 5 & -12 & 29 & -70 & 169 & -408  \\
   {{F}_{3}}\left( n \right) & 0 & 1 & 3 & 10 & 33 & 109 & 360 & 1189 & 3927  \\
   {{F}_{3}}\left( -n \right) & 0 & 1 & -3 & 10 & -33 & 109 & -360 & 1199 & -3927  \\
   {{F}_{4}}\left( n \right) & 0 & 1 & 4 & 17 & 72 & 305 & 1292 & 5473 & 23184  \\
   {{F}_{4}}\left( -n \right) & 0 & 1 & -4 & 17 & -72 & 305 & -1292 & 5473 & -23184  \\
\end{matrix}

Можно привести примеры выполнения тождества (1) для различных последовательностей, приведенных в Табл.6. Для случая \lambda =2 можно рассмотреть следующую тройку чисел:{{F}_{2}}\left( 6 \right)=70,\ {{F}_{2}}\left( 7 \right)=169,\ {{F}_{2}}\left( 8 \right)=408, взятых из Табл.6. Произведя вычисления над ними согласно (1), получим следующий результат:

{{\left( 169 \right)}^{2}}-70\times 408=28561-28560=1

что соответствует тождеству (1), поскольку {{\left( -1 \right)}^{n+1}}={{\left( -1 \right)}^{8}}=1Можно также рассмотреть следующую тройку для {{F}_{3}}\left( n \right)-последовательности, соответствующую случаю n=6:

{{F}_{3}}\left( 5 \right)=109,\ {{F}_{3}}\left( 6 \right)=360,\ {{F}_{3}}\left( 7 \right)=1189

После выполнения вычислений над ними согласно (1), получим следующий результат:

{{\left( 360 \right)}^{2}}-109\times 1189=129600-129601=-1

что соответствует тождеству (1), поскольку {{\left( -1 \right)}^{n+1}}={{\left( -1 \right)}^{7}}=-1

Таким образом, в случае λ-чисел Фибоначчи (для целочисленных значений λ ) в работе [7] получено бесконечное количество целочисленных последовательностей, простирающихся от +\infty до -\infty , обладающих уникальным математическим свойством, выражаемым формулой Кассини (1), которое гласит:

Квадрат некоторого λ-числа Фибоначчи {{F}_{\lambda }}\left( n \right) всегда отличается от произведения двух соседних λ-чисел Фибоначчи {{F}_{\lambda }}\left( n-1 \right) и {{F}_{\lambda }}\left( n+1 \right) , которые его окружают, на 1, причем знак этой единицы зависит от четности числа  ; если число является четным числом, то 1 берется с минусом, а если нечетным, то с плюсом.

Существенно подчеркнуть, что это свойство λ-чисел Фибоначчи {{F}_{\lambda }}\left( n \right) является обобщением такого же свойства для классических чисел Фибоначчи {{F}_{n}}. Но если раньше считалось, что только классические числа Фибоначчи обладают таким уникальным свойством, то оказалось, что количество таких числовых последовательностей бесконечно, поскольку все множество числовых последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением для λ-чисел Фибоначчи (λ=1,2,3,...), обладают подобным свойством, задаваемым (1). Доказательство существования бесконечного количества числовых последовательностей, обладающих свойством (1), является новым математическим результатом, представляющим интерес для «элементарной теории чисел».

«Металлические пропорции»

Выражение для «металлических пропорций» имеет следующий вид:

{{\Phi }_{\lambda }}=\frac{\lambda +\sqrt{4+{{\lambda }^{2}}}}{2} (2)

Для случая l=1 формула (2). сводится к выражению для классической золотой пропорции:

\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} (3)

Аргентинский математик Вера Шпинадель [35] назвала математические константы, задаваемые выражением (2), «металлическими пропорциями». «Если в (2) принять l=1,2,3,4» , то в этом случае можно получить следующие математические константы, имеющие, согласно Шпинадель, следующие названия:

{{\Phi }_{1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(золотая пропорция,\lambda =1); {{\Phi }_{2}}=1+\sqrt{2}(серебряная пропорция,\lambda =2);

{{\Phi }_{3}}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}(бронзовая пропорция,\lambda =3); {{\Phi }_{4}}=2+\sqrt{5}(медная пропорция,\lambda =4).

Остальные металлические пропорции (\lambda \ge 5) не имеют специальных названий:

{{\Phi }_{5}}=\frac{5+\sqrt{29}}{2};\quad {{\Phi }_{6}}=3+2\sqrt{10};\quad {{\Phi }_{7}}=\frac{7+2\sqrt{14}}{2};\quad {{\Phi }_{8}}=4+\sqrt{17}.

Гиперболические λ-функции Фибоначчи и Люка

«Металличесие пропорции» были использованы в [42] для введения нового класса гиперболических функций (см. п.8 Табл.5), которые являются обобщением симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка, введенных в [29]. Существует бесконечное количество гиперболических λ-функций Фибоначчи и Люка, так каждое действительное число λ>0 порождает свою группу таких функций.

Системы счисления с иррациональными основаниями, «золотая» теория чисел и компьютеры Фибоначчи

Системы счисления с иррациональными основаниями

Основные математические соотношения для этих систем счисления приведены в таблице 7. Таблица 7. Системы счисления с иррациональными основаниями

1 Код Фибоначчи Цекендорф, 1939 N={{a}_{n}}{{F}_{n}}+{{a}_{n-1}}{{F}_{n-1}}+...+{{a}_{i}}{{F}_{i}}+...+{{a}_{1}}{{F}_{1}}
{{a}_{i}}\in \left\{ 0,1 \right\};\ {{F}_{i}} - числа Фибоначчи ; i=1,2,3,...,n;
2 Система счисления Бергмана, 1957 A=\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}{{\Phi }^{i}}}
A - действительное число; {{a}_{i}}\in \left( 0,1 \right)
\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} - золотая пропорция
3 p-коды Фибоначчи Стахов, 1974 N={{a}_{n}}{{F}_{p}}\left( n \right)+{{a}_{n-1}}{{F}_{p}}\left( n-1 \right)+...+{{a}_{i}}{{F}_{p}}\left( i \right)+...+{{a}_{n}}{{F}_{p}}\left( 1 \right)
{{a}_{i}}\in \left\{ 0,1 \right\};{{F}_{p}}\left( i \right) - p - числа Фибоначчи; i=1,2,3,...,n
\text{p}=0,1,2,3,...
4 Коды золотой p-пропорции Стахов, 1980 A=\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}\Phi _{p}^{i}} А-действительное число; {{a}_{i}}\in \left( 0,1 \right);
\Phi _{p}^{{}}- золотая p -пропорция; p=0,1,2,3,...
5 "Золотые" зеркально - симетричные представления Стахов, 1998 N=\sum\limits_{i}{{{b}_{i}}{{\Phi }^{2i}}}
{{b}_{i}}\in \left\{ \overline{1},0,1 \right\};\ {{\Phi }^{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}- основание системы счисления

Бельгийский исследователь и любитель математики Цекендорф доказал в 1939 г. так называемую «теорему Цекендорфа», касающуюся кода Фибоначчи (см. п.1 в Табл.7). Согласно этой теореме любое натуральное число может быть представлено в виде единственной суммы последовательных чисел Фибоначчи, в которых два соседних числа Фибоначчи рядом не встречаются. Американский математик Джордж Бергман ввел в 1957 г. новую позиционную систему счисления – систему счисления с иррациональным основанием \Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} («золотая пропорция») [48].

Алексей Стахов ввел в 1974 г. новый класс позиционных систем счисления, названных р-кодами Фибоначчи [22], и разработал на этой основе новые машинные арифметики, названные системами счисления Фибоначчи. Количество таких систем счисления теоретически бесконечно. Р-коды Фибоначчи являются обобщением классической двоичной системы счисления (р=0) и классического кода Фибоначчи (р=1). Новые системы счисления были положены в основу «компьютеров Фибоначчи», которые были широко запатентованы за рубежом и на их основе в 80-е годы 20 в. было выполнено ряд разработок, которые в тот период по своим параметрам превышали мировой уровень [49].
В работах [25,26] введен новый класс позиционных систем счисления, названных кодами золотой р-пропорции. Они являются обобщенями классической двоичной системы счисления (р=0) и системы счисления Бергмана (р=1). Эти системы счислени положены в основу помехоустойчивых микропроцессоров Фибоначчи [49].
В работе [50] введена. троичная зеркально-симметричная система счисления, которая является синтезом троичной системы счисления и системы счисления Бергмана [48].

О «золотой» теории чисел

В работе [51] коды золотой -пропорции и система счисления Бергмана рассмотрены с теоретико-числовых позиций как новые определения действительных чисел. Согласно подходу, изложенному в [51], теория действительных чисел может быть построена на этих определениях, которые порождают как сами действительные числа, так и всю проблематику новой теории чисел, названной «золотой» теорией чисел. Свойства систем счисления с иррациональными основаниями (системы Бергмана и кодов золотой р-пропорции) являются уникальными с теоретико-числовой точки зрения. Они переворачивают не только традиционные представления о системах счисления, но и соотношение между рациональными и иррациональными числами. Благодаря этим системам счисления, «золотая пропорция» древних греков \Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} и ее «гомологи» - «золотые p-пропорции» {{\Phi }_{p}} - неожиданно выдвигаются на передний план в «теории чисел», которую называют царицей математики.

«В «золотой» теории чисел [51] получено ряд важных теоретико-числовых результатов, касающихся новых свойств натуральных чисел. В частности, доказано, что любое натуральное число N представляется в виде конечной «суммы степеней «золотой» пропорции или «золотой р-пропорции», то есть, представления натуральных чисел в виде:

N=\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}{{\Phi }^{i}}} (4)

N=\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}\Phi _{p}}\left( i \right) (5)

всегда являются конечными для любого натурального числа N.

Но еще более неожиданными с теоретико-числовой точки зрения являются так называемые Z- и {{Z}_{p}}- свойства натуральных чисел [51]. Суть этих свойств состоит в том, что если в выражении (4) все степени золотой пропорции {{\Phi }^{i}}\left( i=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \right) заменить соответствующими числами Фибоначчи, {{F}_{i}}\left( i=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \right) а в выражении (5) все степени золотой p-пропорции \Phi _{p}^{i}\left( i=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \right) заменить соответствующими p-числами Фибоначчи {{F}_{p}}\left( i \right)\left( i=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \right), то возникающие при этом суммы тождественно равны 0, независимо от исходного числа N ,то есть,

\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}{{F}_{i}}=0} (6)

\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}F_{p}^{i}=0} (7)

причем (и это самое главное!) таким свойством обладают только натуральные числа. Эти свойства названы в [51] Z-свойством натуральных чисел. Таким образом, спустя более двух тысячелетий после начала теоретического изучения свойств натуральных чисел, в «золотой» теории чисел [51] удалось обнаружить их новые теоретико-числовые свойства, что само по себе является неожиданным результатом для теории чисел.

Микропроцессоры и компьютеры Фибоначчи

Но наиболее эффективным приложением систем счисления с иррациональными основаниями являются создание микропроцессоров и компьютеров Фибоначчи, что позволяет существенно повысить помехоустойчивость и информационную надежность таких микропроцессоров и компьюьтеров [52]. В брошюре [49] описаны инженерные разработки, выполненные на этой основе в 80-е годы 20 в. Следует отметить, что это направление использования кодов Фибоначчи продолжает активно развиваться в современной науке [53].

Матрицы Фибоначчи и матричная теория кодирования

В работе [54] описан метод кодирования-декодирования, основанный на матрицах Фибоначчи. Для этого исходное сообщение рабивается на 4 части и представляется в виде квадратной (2×2)-матрицы:

M=\left[ \begin{matrix}   
   {{m}_{1}} & {{m}_{2}}  \\
   {{m}_{3}} & {{m}_{4}}  \\
\end{matrix} \right] (8)

Элементами матрицы M являются целые неотрицательные числа, которые должны быть выбраны таким образом, чтобы матрица M была невырожденной матрицей с детерминантом

\det M={{m}_{1}}{{m}_{2}}-{{m}_{3}}{{m}_{4}}\ne 0. (9)

Для кодирования используется матрица Фибоначчи {{Q}^{n}} , приведенная в таблице 5 (пункт 7). Детерминант этой матрицы задается выраженим, приведенным в таблице 5 (пункт 7) Для декодирования используется обратная Q-матрица Фибоначчи. Тогда процесс кодирования-декодирования состоит в следующем:

Кодирование Декодирование
M\times {{Q}^{n}}=E E\times {{Q}^{-n}}=M

(10)

Таким образом, кодирование состоит в умножении исходной матрицы{{Q}^{n}} (8) на кодирующую матрицу  ; в результате мы получаем кодовую матрицу E :

E=M\times {{Q}^{n}}=\left( \begin{matrix}
   {{m}_{1}} & {{m}_{2}}  \\
   {{m}_{3}} & {{m}_{4}}  \\
\end{matrix} \right)\times \left( \begin{matrix}
   {{F}_{n+1}} & {{F}_{n}}  \\
   {{F}_{n}} & {{F}_{n-1}}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   {{e}_{1}} & {{e}_{2}}  \\
   {{e}_{3}} & {{e}_{4}}  \\
\end{matrix} \right), (11)

элементы которой задаются следующими выражениями:

\begin{align}
  & {{e}_{1}}={{F}_{n+1}}{{m}_{1}}+{{F}_{n}}{{m}_{2}};\quad {{e}_{2}}={{F}_{n}}{{m}_{1}}+{{F}_{n-1}}{{m}_{2}}; \\ 
 & {{e}_{3}}={{F}_{n+1}}{{m}_{3}}+{{F}_{n}}{{m}_{4}};\quad {{e}_{4}}={{F}_{n}}{{m}_{3}}+{{F}_{n-1}}{{m}_{4}}. \\ 
\end{align} (12)

Существенно подчеркнуть, что при n\ge 1 числа Фибоначчи всегда являются неотрицательными целыми числами; тогда из (12) вытекает, что элементы кодовой матрицы {{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}},{{e}_{4}} всегда являются целыми неотрицательными числами. Декодирование состоит в умножении кодовой матрицы E на декодирующую матрицу {{Q}^{-n}} . После декодирования, исходная матрица M получается из кодовой матрицы E в результате следующих преобразований:

M=\left( \begin{matrix} 
   {{m}_{1}} & {{m}_{2}}  \\
   {{m}_{3}} & {{m}_{4}}  \\
\end{matrix} \right)=E\times {{Q}^{-n}}=\left( \begin{matrix}
   {{e}_{1}} & {{e}_{2}}  \\
   {{e}_{3}} & {{e}_{4}}  \\
\end{matrix} \right)\times {{Q}^{-n}}. (13)

Вычисляя детерминант кодовой матрицы E=M\times {{Q}^{n}}:

\det E=\det \left( M\times {{Q}^{n}} \right)=\det M\times \det {{Q}^{n}} (14)

и учитывая, что \det {{Q}^{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}} нетрудно получить следующее соотношение, связывающее декрминанты матриц Е и М:\det E=\det M\times {{\left( -1 \right)}^{n}} (15)

Это и есть основное контрольное соотношение для нового метода избыточного кодирования, задаваемого (10). Его суть состоит в том, что детерминант кодовой матрицы E полностью определяется детерминантом исходной матрицы M ; при этом при четном n=2k детерминанты матриц E и M совпадают, а при нечетном n=2k+1 – противополжны по знаку. В работе [54] приведены и другие контрольнеые соотношения, связывающие элементы кодовой матрицы Е. Показано [54], что эти контрольные соотношения могут быть использованы для эффективного обнаружения и исправления ошибок, которые могут возникнуть в кодовой матрице Е при передаче информации.

Решение 4-й проблемы Гильберта

Классическая модель плоскости Лобачевского

Как известно, классическая модель плоскости Лобачевского в псевдосферических координатах \left( u,v \right),\ 0<u<+\infty ,\ 0<v<+\infty ,\ имеющей гауссову кривизну K=-1 (интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере), имеет вид:

{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( du \right)}^{2}}+s{{h}^{2}}\left( u \right){{\left( dv \right)}^{2}} (16)

где ds– элемент длины, sh\left( u \right) - гиперболический синус. Как вытекает из (16), ключевую роль в (16) играет гиперболический синус.

«Золотые» метрические λ-формы плоскости Лобачевского.

Существует бесконечное количество гиперболических λ-функций Фибоначчи и Люка, вид которых приведен в Табл. 5 (пункт 8). Их частным случаем (l=1 )являются симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка, представленные в Табл. 3 (пункт 6). Существенно подчеркнуть, что гиперболические λ-функции Фибоначчи и Люка сохраняют все известные свойства классических гиперболических функций и поэтому могут быть использованы для введения новых метрических форм плоскости Лобачевского. Эта идея и лежит в основе статей доктора техничских наук Алексея Стахова и доктора физико-математических Самуила Арансона [39-41]. Доказано [39-41], что эти метрические формы представляются в виде:

{{\left( ds \right)}^{2}}={{\ln }^{2}}\left( {{\Phi }_{\lambda }} \right){{\left( du \right)}^{2}}+\frac{4+{{\lambda }^{2}}}{4}{{\left[ s{{F}_{\lambda }}\left( u \right) \right]}^{2}}{{\left( dv \right)}^{2}} (17)

где {{\Phi }_{\lambda }}=\frac{\lambda +\sqrt{4+\mathop{\lambda }^{2}}}{2} - металлическая пропорция и s{{F}_{\lambda }}\left( u \right) λ- гиперболический λ-синус Фибоначчи (см. пункт 8 Табл.5). Формы (17) названы в [39-41] метрическими λ -формами плоскости Лобачевского.

В Табл.8 сведены выражения для частных случаев метрических λ-форм плоскости Лобачевского, соответствующих значениям λ=1,2,3,4 и названных «золотой» (λ=1), «серебряной» (λ=2), «бронзовой» (λ=3), «медной» (λ=3) формами плоскости Лобачевского.

Таблица 8. Метрические \lambda - формы плоскости Лобачевского

Название \lambda - {{\Phi }_{\lambda }} Аналитическое выражение
Метрическая \lambda --форма Лобачевского \lambda >0 {{\Phi }_{\lambda }}=\frac{\lambda +\sqrt{4+{{\lambda }^{2}}}}{2} {{\left( ds \right)}^{2}}={{\ln }^{2}}\left( {{\Phi }_{\lambda }} \right){{\left( du \right)}^{2}}+\frac{4+{{\lambda }^{2}}}{4}{{\left[ s{{F}_{\lambda }}\left( u \right) \right]}^{2}}{{\left( dv \right)}^{2}}
"Золотая" форма \lambda =1 {{\Phi }_{1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.61803 {{\left( ds \right)}^{2}}={{\ln }^{2}}\left( {{\Phi }_{1}} \right){{\left( du \right)}^{2}}+\frac{5}{4}{{\left[ sFs\left( u \right) \right]}^{2}}{{\left( dv \right)}^{2}}
"Серебряная" форма \lambda =2 {{\Phi }_{2}}=1+\sqrt{2}\approx 2.1421 {{\left( ds \right)}^{2}}={{\ln }^{2}}\left( {{\Phi }_{2}} \right){{\left( du \right)}^{2}}+2{{\left[ s{{F}_{2}}\left( u \right) \right]}^{2}}{{\left( dv \right)}^{2}}
"Бронзовая" форма \lambda =3 {{\Phi }_{3}}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.30278 {{\left( ds \right)}^{2}}={{\ln }^{2}}\left( {{\Phi }_{3}} \right){{\left( du \right)}^{2}}+\frac{13}{4}{{\left[ s{{F}_{3}}\left( u \right) \right]}^{2}}{{\left( dv \right)}^{2}}
"Медная" форма \lambda =4 {{\Phi }_{4}}=2+\sqrt{5}\approx 4.23607 {{\left( ds \right)}^{2}}={{\ln }^{2}}\left( {{\Phi }_{4}} \right){{\left( du \right)}^{2}}+5{{\left[ s{{F}_{4}}\left( u \right) \right]}^{2}}{{\left( dv \right)}^{2}}
Классическая форма {{\lambda }_{e}}\approx 2.350402 {{\Phi }_{{{\lambda }_{e}}}}=e\approx 2.7182 {{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( du \right)}^{2}}+s{{h}^{2}}\left( u \right){{\left( dv \right)}^{2}}

В чем суть решения 4-й проблемы Гильберта?

Коэффициент λ в выражении (17) принимает значения из множества положительных действительных чисел λ>0. Это означает, что формула (17) задает бесконечное число λ-геометрий Лобачевского, близких к классической геометрии Лобачевского. Поэтому формула (17) и решает 4-ю проблему Гильберта, которая сформулирована Гильбертом следуюшим образом:

«Более общий вопрос, возникающий при этом, заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии».

Общий итог исследования, выполненного в работах [39-41], состоит в том, что получено бесконечное множество метрических \lambda -форм плоскости Лобачевского ( \lambda >0-заданное положительное число), задаваемых выражением (17). Все эти формы изометричны классической метрической форме плоскости Лобачевского, задаваемой выражением (16). А это означает, что полученные в работах [39-41] новые модели плоскости Лобачевского, основанные на «металлических пропорциях», вместе с классической геометрией Лобачевского, “могут рассматриваться как ближайшие геометрии к обыкновенной геометрии Евклида» (Давид Гильберт). Число таких геометрий бесконечно.
Следует отметить, что на данном этапе теория Стахова-Арансона считается «маргинальной», так как она не признана широкими кругами математической обществености. Но это не значит, что она неправильная. И сам факт ее публикации в международном журнале «Applied Mathematics» [39-41] свидетельствет о начале ее научного признания, то есть, превращения этой теории из «маргинальной» в «фундаментальную» теорию, затрагивающую основания математики. Уместно напомнить, что геометрия Лобачевского на начальном этапе ее развития также считалась «маргинальной» и не признавалась некоторыми математиками (Острогрдский и др.).

Новая задача для теоретического естествознания

Теоретическое значение формул для «металлических пропорций» (Табл.5) и метрических \lambda - форм плоскости Лобачевского (Табл.8) не вызывает сомнений. Однако, из этих формул вытекают некоторые важные предложения, касающиеся всего теоретического естествознания. Для формулировки этих предложений следует еще раз обратиться к «геометрии Боднара» [30]. Новая геометрическая теория филлотаксиса, основанная на симметричных гиперболических функциях Фибоначчи, вселяет надежду, что гиперболические \lambda -функции Фибоначчи и Люка и новые «геометрии Лобачевского», вытекающие из решения 4-й проблемы Гильберта, найдут практические приложения в современной науке. «Геометрия Боднара» показывает, что «мир филлотаксиса», одного из самых удивительных явлений ботаники, является «гиперболическим миром», основанным на гиперболических функциях Фибоначчи и Люка (см. пункт 6 Табл.3), основанием которых является классическая «золотая пропорция». При этом, к этому гиперболическому миру относится огромное количество ботанических объектов: сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечника, корзинки цветов, деревья и т.д.. Таким образом, в ботаническом явлении филлотаксиса «гиперболичность» проявляет себя в «золоте». Эта гипотеза, выдвинутая Боднаром, оказалась весьма плодотворной и привела к созданию новой геометрической теории филлотаксиса, имеющей междисциплинарное значение [30].

Однако, гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются частным случаем (λ=1) гиперболических λ-функций Фибоначчи и Люка, основанных на «металлических пропорциях». В этой связи есть все основания высказать предположение, что и другие типы гиперболических λ-функций могут стать основой для моделирования новых «гиперболических миров», которые могут реально существовать в природе, но которые наука до сих пор не обнаружила, потому что современной науке были неизвестны гиперболические λ-функции Фибоначчи и Люка и перед ней никто не ставил такой задачи.
Основываясь на блестящем успехе «геометрии Боднара» [30], можно поставить перед теоретической физикой, химией, кристаллографией, ботаникой, биологией и другими разделами теоретического естествознания задачу поиска новых «гиперболических миров» природы, основанных на других классах гиперболических λ-функций Фибоначчи и Люка.

При этом, возможно, первым кандидатом на создание нового «гиперболичесого мира» в естествознании может стать «серебряная пропорция» {{\Phi }_{2}}=1+\sqrt{2} и основанные на ней «серебряные» гиперболические функции (см. Табл.8). Интерес к «серебряной» пропорции {{\Phi }_{2}}=1+\sqrt{2} и «серебряным» гиперболическим функциям значительно возрос в последние годы. В этой связи особый интерес представляет статья Олега Боднара «Серебряные функции и обобщение теории гиперболических функций» [55] и статья [47] известного российского исследователя Александра Татаренко. В статье [47] Александр Татаренко развивает теорию {{T}_{m}}-гармоний, которые по существу совпадают с «металлическими пропорциями». При этом особую роль в дальнейшем развитии теоретического естествознания он отводит «серебряной» пропорции {{\Phi }_{2}}=1+\sqrt{2} , которую он называет {{T}_{2}}-гармонией:

Важнейшим и неожиданным результатом исследований {{T}_{m}}-гармоний было установление двух фактов:

1) вторая Золотая {{T}_{m=\pm 2}}=\sqrt{2}\pm 1- гармония (а не первая — согласно нумерации в ряде {{T}_{\pm m}}-чисел — классическая «золотая пропорция» Ф) является доминантой, царствующей в беспредельном мире {{T}_{m}}-гармоний.

2) «функцией» второй Золотой {{T}_{m\pm 2}}-гармонии является число \sqrt{2} - реликтовое число – корень из двух, встречающийся в архи-громадном множестве формул и закономерностей различных областей естествознания, что равнозначно причастности {{T}_{2}} непосредственно или косвенно ко множеству (а возможно и ко всем) законов Природы и ее констант. Таким образом {{T}_{2}} буквально пронизывает все мироздание, являясь его несущим каркасом – суперфундаментальной константой, не знающей ограничений, свойственных всем без исключения известным физическим константам.

Установление факта доминантности \sqrt{2}-гармонии, а с ней и особого статуса ее «функции» является заключительным аккордом — важнейшим научным прорывом на пути к Истине о Гармонии Мира, сравнимым со сменой птоломеевского геоцентризма на гелиосистему Коперника.Требуется кардинально новое мышление о Гармонии Мира». Таким образом, Татаренко обращает особое внимание на «серебряную» пропорцию {{\Tau }_{2}}=1+\sqrt{2} , которая «буквально пронизывает все мироздание, являясь его несущим каркасом – суперфундаментальной константой, не знающей ограничений, свойственных всем без исключения известным физическим константам». Более того, он считает введение «серебряной» пропорции» {{\Tau }_{2}}=1+\sqrt{2} в современную науку «важнейшим научным прорывом на пути к Истине о Гармонии Мира, сравнимым со сменой птолемеевского геоцентризма на гелиосистему Коперника» Время покажет – сбудится ли предсказание Александра Татренко?

Оценка «математики гармонии» известными учеными

Академик Юрий Митропольский (Украина)

Одним из первых свое отношение к «математике гармонии» выразил выдающийся украинский математик академик РАН и Украинской академии наук Юрий Митропольский в статье «Математика гармонии профессора Стахова» [56]: «Возникает вопрос, какое место в общей теории математики занимает созданная Стаховым Математика Гармонии? Мне представляется, что в последние столетия, как выразился когда-то Н.И. Лобачевский, «математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою». В результате между «элементарной математикой», лежащей в основе современного математического образования, и «высшей математикой» образовался разрыв. И этот разрыв, как мне кажется, и заполняет Математика Гармонии, разработанная А.П. Стаховым. То есть «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитии прежде всего «элементарной математики», и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования ... Созданное профессором Стаховым новое научное направление, названное им математикой гармонии, имеет огромное междисциплинарное значение, так как затрагивает основания многих наук, включая математику, теоретическую физику и компьютерные науки. Проект реформы математического образования, предложенный Стаховым, открывает новый этап в развитии математического и общего образования, он способствует выработке нового научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и Золотого сечения».

Профессор Scott Olsen (США)

В статье известного американского философа Скотта Олсена [57] дана высокая оценка книги [4]: «Кто же понимает этот основополагающий принцип всей природы, возможно лучше, чем кто-либо из живущих? Это именно Алексей Стахов! Его новая книга, Математика Гармонии, вполне может изменить ход человеческой истории. Сегодня нет математического ума, который, по моему скромному мнению, может соответствовать творчеству Алексея Стахова по глубине и широте охвата».

Профессор Сергей Абачиев (Россия)

В Интернет-журнале "Науковедение" (№4, 2012) http://naukovedenie.ru/index.php?p=issue-4-12 под рубрикой "Математика гармонии: инновации в информационных технологиях, в основаниях математики, в образовании" опубликованы 4 статьи [58]–[61]. В статьях проф. Абачиева [59], [61], который является одним из сильнейших современных российских специалистов в области логики и методологии науки, проведена высококвалифицированная и разносторонняя историко-научная и методологическая экспертиза математики гармонии. В свете результатов этого анализа математика гармонии в современной форме представляется связанной с разработкой ключевых проблем синергетики, фрактальной геометрии, теории чисел и вычислительной математики, которая после открытий М. Фейгенбаума и Б. Мандельброта стала экспериментальной наукой с компьютером в классической роли научного прибора. В статье [59] представлены особенности мирового развития науки и техники, которые объективно предопределили трудности становления математики гармонии во второй половине ХХ в. и её социальной институциализации в качестве одного из инновационных научных направлений. Кроме того, в учебном пособии «Концепции современного естествознания» [62], которое "соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (третьего поколения) и рекомендовано студентам по направлениям подготовки бакалавров «Гуманитарные науки», в параграфе 5.9. «Кибернетика в лицах» проф. Абачиев ставит создателя современной «математики гармонии» проф. Стахова в один ряд с Чарльзом Беббиджем, Адой Лавлейс, Клодом Шенноном, Джоном фон Нейманом, Аланом Тьюрингом, Норбертом Винером, Уильямом Эшби, Джорджем Бергманом (George Bergman).

Профессор Wolkmar Weiss (Германия)

Сразу же после публикации книги [4] на сайте “Amazon.com” появился отзыв немецкого ученого профессора Wolkmar Weiss http://www.amazon.com/Mathematics-Harmony-Series-Knots-Everything/dp/981277582X Отзыв называется «A breaktrough or even more!» (Прорыв и даже больше!). В отзыве написано: «Профессор Стахов написал книгу, которая может изменить не только наш взгляд на историю математики, но и будущее развитие математики в применении к естественным наукам и компьютерному проектированию». Таким образом, 4 известных ученых из Украины, США, России и Германии, среди которых выдающийся математик академик Митропольский, независимо друг от друга пришли к столь единодушной положительной оценке «математики гармонии».

Профессора Юрий Владимиров и Сергей Петухов (Россия)

Положительная оценка «математики гармонии» содержится также в отзыве на доклад проф. Стахова в Московском университете (29 мая 2003 г.), подготовленный двумя известными российскими учеными - докторами физико-математических наук, профессорами Юрием Владимировым (МГУ) и Сергеем Петуховым (Институт машиноведения РАН) http://www.goldenmuseum.com/2024Review_rus.html

Заключение

Таким образом, созданное Пифагором, Платоном и Евлидом научное направление, названное «математикой гармонии» [1,2], получило новое звучание в современной науке [4]. «Математика гармонии» становится фактором, который нельзя игнорировать в современной культуре, науке и математике. «Математика гармонии» является истинной «математикой природы», которая широко воплощена, прежде всего, в живой природе и используется в современной науке и искусстве. В науке существуют исследовательские объекты, которые объединяют разрозненные научные факты в единое целое. К разряду таких объектов античные ученые отнесли Платоновы тела и золотое сечение. Древние греки возвысили их до уровня «главных выразителей гармонии Мироздания». На протяжении более чем двух тысячелетий, начиная с Пифагора, Платона, Евклида, эти геометрические объекты были предметом восхищения и поклонения выдающихся умов человечества - в эпоху Возрождения - Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера, в 19 веке - Цейзинга, Люка, Бине, Клейна. В 20-м веке интерес к этим математическим объектам значительно возрос в математике, благодаря исследованиям советского математика Николая Воробьева и американского математика Вернера Хоггатта, с работ которых начинается процесс «гармонизации математики». Развитие этого направления привело к созданию «математики гармонии» [4], которая отражает одну из важных тенденций в развитии современной науки – возрожение «гармонических идей» Пифагора, Платона и Евклида. Новейшие открытия в различных областях современной науки (квази-кристаллы, фуллерены, новая геометрическая теория филлотаксиса, "золотые" геноматрицы, и др.), основанные на античной «гармоничной математике» (Платоновые тела и «золотое сечение) и новые научные результататы, полученные в рамках современной «математики гармонии» [4] (общая теория гиперболических функций, решение 10-й и 4-й проблем Гильберта, алгоритмическая теория измерения, коды Фибоначчи и золотой пропорции, "золотая" теория чисел, микропроцессоры Фибоначчи, преобразования Фибоначчи-Лоренца, "золотая" интерпретация специальной теории относительности, и так далее) создают общую картину движения современной науки к "золотой" научной революции, что является одной из характерных тенденций в развитии современной науки.

От «математики гармонии» следует ожидать существенного продвижения, по крайней мере, в следующих областях современной науки и образования:

1. Математика и математическое образование. «Гипотеза Прокла», затрагивающая историю математики и математического образования, берущих свое начало от Евклидовых «Элементах», требует переосмысливания всей математики и требуют включения древнейшей науки – «математики гармонии» - в математическое образование.

2. Гиперболическая геометрия. Гиперболические λ-функции Фибоначчи и Люка [42] и вытекающее из них решение 4-й проблемы Гильберта [39-41] ставят перед теоретическим естествознанием задачу поиска новых гиперболических миров природы. Решение такой задачи может привести к революционным преобразованиям во всем теоретическом естествознании.

3. Компьютерная техника. Человечество становится заложником «двоичной системы счисления», в которой отсутствуют какие-либо механизмы ддя обнаружения ошибок, которые возникают в электронных элементах под воздействием различных внешних и внутренних факторов. Это уже привело к катастрофам национального масштаба в ряде стран (сбои в цифровой системе управления при запуске ракет). Поэтому замена «двоичной системы» на «системы счисления с иррацональными основаниями» (коды Фибоначчи и золотой пропорции) рано или поздно произойдет. И это приведет к созданию помехоустойчивых компьютеров повышенной информационной надежности.

См. также

Литература

  1. Harmony of spheres. The Oxford dictionary of philosophy‎, Oxford University Press, 1994, 1996, 2005.
  2. Dimitrov Vladimir. A new kind of social science. Study of self-organization of human dynamics. Morrisville Lulu Press, 2005.
  3. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers. Volume 7. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1998. – p. 393-399.
  4. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. New Jersey, London, Singapore, Beijing, Shanghai, Hong Kong, Taipei, Chennai: World Scientific, 2009. – 748 р. http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6635
  5. Стахов А.П. Основы математики гармонии и ее приложения. Часть 1. Золотое сечение, числа Фибоначчи и Платоновы тела в истории науки и культуры. Lambert Academic Publishing (Germany), 2012. – 272 c. https://www.lap-publishing.com/catalog/details/store/gb/book/978-3-659-15024-1/Основы-математики-гармонии-и-ее-приложения
  6. Стахов А.П. Основы математики гармонии и ее приложения. Часть 2. Коды Фибоначчи и золотой пропорции как альтернатива классической двоичной системе счисления. Lambert Academic Publishing (Germany), 2012. – 308 c. https://www.lap-publishing.com/catalog/details/store/gb/book/978-3-659-23499-6/Основы-математики-гармонии-и-ее-приложения
  7. Стахов А.П. Основы математики гармонии и ее приложения. Часть 3. Математика гармонии как «золотая» парадигма современной науки. Lambert Academic Publishing (Germany), 2012. – 372 c. https://www.lap-publishing.com/catalog/details/store/gb/book/978-3-659-26065-0/Основы-математики-гармонии-и-ее-приложения
  8. Клайн М. Математика. Утрата определенности (пер. с англ.). Москва: Мир, 1984. 434 с.
  9. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989. – 336 с.
  10. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Ленинград-Москва: ОНТИ, 1935.
  11. Гика Матила. Эстетика пропорций в природе и искусстве (пер. с фр.). Москва: Издательство Академии Архитектуры , 1936.
  12. Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry New York: John Wiley and Sons, 1961.
  13. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. Москва, Наука, 1978 (первое издание - 1961). – 144 с.
  14. Hoggat V. E. Jr. Fibonacci and Lucas Numbers. - Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
  15. Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. - Ellis Harwood Limited, 1989.
  16. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984. – 264 с.
  17. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991. – 224 с.
  18. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics. Congressus Numerantium, Vol. CXCIII, 2008.
  19. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория. М.: Наука, 1973. – 256 с.
  20. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М.: Советское Радио, 1977. – 288 c.
  21. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. М.: Знание, 1979. – 64 c. (Новое в жизни, науке и технике. Серия «Математика и кибернетика», вып 6).
  22. Стахов А.П. Избыточные двоичные позиционные системы счисления. В кн. Однородные цифровые вычислительные и интегрирующие структуры, вып.2. Изд-во Таганрогского радиотехнического института, 1974 г. – с.5-41
  23. Стахов А.П. Использование естественной избыточности «фибоначчиевых» систем счисления для контроля вычислительных систем. Автоматика и вычислительная техника, №6, 1975 г. – с.80-87.
  24. Стахов А.П. «Фибоначчиевые» двоичные позиционные системы счисления. В сб. Кодирование и передача дискретных сообщений в системах связи. Москва, Наука, 1976 г.
  25. Стахов А.П. «Золотая» пропорция в цифровой технике. Автоматика и вычислительная техника, №1, 1980 г. – с.27-33.
  26. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. — М. : Радио и связь, 1984. — 151 с. – 10 000 экз.
  27. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики. Журнал «Измерения. Контроль. Автоматизация», №6, 1981.
  28. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993. –с.9-14.
  29. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.
  30. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Свит, 1994. – 204 с.
  31. Пойа Д. Математическое открытие (перевод с англ.). М.: Наука, 1970. – 452 с. (английское издание, том 1, 1962, том 2, 1965).
  32. Spears C.P., Bicknell-Johnson M. Asymmetric cell division: binomial identities for age analysis of mortal vs. immortal trees, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, 1998, 377-391.
  33. Büyükkılıç F., and Demirhan D.. Cumulative growth with fibonacci approach, golden section and physics. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 42 (1), 24-32
  34. Büyükkılıç F., and Demirhan D.. Cumulative Diminuations with Fibonacci Approach, Golden Section and Physics, Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 47 (3), 35-43.
  35. Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).
  36. Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (Русский перевод: Мидхат Газале. Гномон. От фараонов до фракталов. #Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 272 с.)
  37. Kappraff Jay. “Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth and Number”. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2002. – 584 р.
  38. Stakhov A. The “golden” matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.
  39. A. Stakhov, S. Aranson. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem. Part I. Hyperbolic Fibonacci and Lucas #Functions and “Golden” Fibonacci Goniometry. Applied Mathematics, 2011, 2 (January), 74-84
  40. A. Stakhov, S. Aranson. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem. Part II. A New Geometric Theory of #Phyllotaxis (Bodnar’s Geometry). Applied Mathematics, 2011, 2 (February), 181-188
  41. A. Stakhov, S. Aranson. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem. Part III. An Original Solution of Hilbert’s #Fourth Problem. Applied Mathematics, 2011, 2 (March).
  42. Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm
  43. Falcon Sergio, Plaza Angel. On the Fibonacci k-numbers Chaos, Solitons & Fractals, Volume 32, Issue 5, June 2007 : 1615-1624.
  44. Аракелян Грант. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989
  45. Шенягин В.П. «Пифагор, или Каждый создает свой миф» - четырнадцать лет с момента первой публикации о квадратичных мантиссовых s-пропорциях // «Академия Тринитаризма», #М., Эл № 77-6567, публ.17031, 27.11.2011 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322050.htm
  46. Косинов Н.В., Золотая пропорция, Золотые константы и Золотые теоремы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14379, 02.05.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321049.htm
  47. Татаренко А.А. Золотые – гармонии и – фракталы — суть солитоно-подобного Тm – cтруктурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320010.htm
  48. Bergman G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31: 98-119.
  49. Помехоустойчивые коды: Компьютер Фибоначчи, Москва, Знание, серия «Радиоэлектроника и связь», вып.6, 1989 г. – 64 с.
  50. Stakhov AP. Brousentsov's ternary principle, Bergman's number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic. The Computer Journal 2002, Vol. 45, No. 2: 222-236
  51. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, том. 56, 2004 г.
  52. Стахов А.П. Микропроцессоры Фибоначчи как одна из базисных инноваций будущего технологического уклада, изменяющих уровень информационной безопасности систем. #Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах, 2011, №3, - с.105 – 119.
  53. Борисенко А.А., Стахов А.П. Об одном методе счета в коде Фибоначчи. Вестник Сумского государственного университета, 2011, №3, - с.141-149.
  54. Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the “Cassini formula”, and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, Volume 30, Issue 1, 56-66
  55. Боднар О.Я. Серебряные функции и обобщение теории гиперболических функций // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17259, 26.01.2012 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322135.htm
  56. Митропольский Ю.А. Математика гармонии профессора Стахова. Философский сборник «Totallogy-XXI. Постнекласичні дослідження». №17/18. – Київ: ЦГО НАН України. – 2007. с. 323 - 337.
  57. Стахов А.П. Математика гармонии: от Евклида до современной математикии компьютерной науки. Интернет журнал «Науковедение» Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ), №4, 2012.
  58. Абачиев C. К. Математика гармонии глазами историка и методолога науки. Интернет журнал «Науковедение» Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ), №4, 2012.
  59. Абачиев C. К., Стахов А. П. Треугольник Паскаля и спектр арифметик для цифровых информационных технологий. Интернет журнал «Науковедение» Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ), №4, 2012.
  60. Абачиев C. К. Математика гармонии: от разработки «по горизонтали» к разработке «по вертикали». Интернет журнал «Науковедение» Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ), №4, 2012.
  61. Абачиев С. К. Концепции современного естествознания : конспект лекций: учебное пособие/С. К. Абачиев, Ростов н/Д: Феникс, 2012.- 349 с.

Примечания

Ссылки

  1. Scott A. Olsen, Professor Alexey Stakhov is an absolute genius of modern science (in Honor of Alexey Stakhov’s 70th Birthday) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15281, 11.05.2009

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Математика гармонии" в других словарях:

  • Математика в Древней Греции — Данная статья  часть обзора История математики. Муза геометрии (Лувр) …   Википедия

  • Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки …   Википедия

  • Стахов, Алексей Петрович — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/30 октября 2012. Пока процесс обсужден …   Википедия

  • Гринбаум, Олег Натанович — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Гринбаум. Гринбаум Олег Натанович Дата рождения: 26 декабря 1950(1950 12 26) (61 год) Место рождения: город Кишинёв …   Википедия

  • Олег Натанович Гринбаум — (р. 26 декабря 1950, Кишинёв Молдавской ССР) российский учёный, доктор филологических наук, профессор кафедры математической лингвистики Факультета филологии и искусств СПбГУ. Содержание 1 Биография 2 Область исследований …   Википедия

  • Мартыненко, Григорий Яковлевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Мартыненко. Григорий Яковлевич Мартыненко Дата рождения 14 февраля 1936(1936 02 14) (76 лет) Место рождения п. Акимовка …   Википедия

  • Последовательность Фибоначчи — Числа Фибоначчи  элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… …   Википедия

  • Ряд Фибоначчи — Числа Фибоначчи  элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… …   Википедия

  • Фибоначчи числа — Числа Фибоначчи  элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… …   Википедия

  • Числа Фиббоначчи — Числа Фибоначчи  элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Математика гармонии» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.