Критерий Фридмана


Критерий Фридмана

Критерий Фридмана[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления c условий измерения (c \geqslant 3) для n объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Содержание

Задача

Дана выборка из c измерений для каждого из n испытуемых, которую можно представить в виде таблицы[2][3]:

Условия
№ объекта 1 2 \dots c
1 x_{11} x_{21} \dots x_{c1}
2 x_{12} x_{22} \dots x_{c2}
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots
n x_{1n} x_{2n} \dots x_{cn}

В качестве нулевой гипотезы H_0 рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»[2]. Выбирается уровень значимости \alpha, например, \alpha = 0,01 (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги r_{ij} объекта x_{ij} при ранжировке x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{cj}[3]:

Ранги
№ объекта 1 2 \dots c
1 r_{11} r_{21} \dots r_{c1}
2 r_{12} r_{22} \dots r_{c2}
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots
n r_{1n} r_{2n} \dots r_{cn}

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

R_{i} = \sum_{j=1}^{n}r_{ij}
\bar{R}_{i} = \frac{R_{i}}{n}
\bar{\bar{R}} = \frac{c+1}{2}

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

S = \frac{12n}{c(c+1)} \sum_{i=1}^{c} (\bar{R}_{i} - \bar{\bar{R}}),

которую можно записать также в виде:

S = \frac{12}{nc(c+1)} \sum_{i=1}^{c} R_{i}^2 - 3n(c+1)

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

S < S_{\alpha}(n, c)

Для малых значений n и c для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости \alpha (или доверительной вероятности[3] 1-\alpha).

При n \geqslant 13 и c \geqslant 20 применима аппроксимация — \alpha-квантиль распределения хи-квадрат с c-1 степенями свободы[3]:

S_{\alpha}(n, c) \approx \chi_\alpha^2(c-1)

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации \alpha-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта[3].

Примеры

Классические примеры применения:

  • n дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
  • Сварные швы, сделанные n сварщиками с использованием c сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)[4], а также Коновер (1971, 1980)[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов[6].

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R[7] и других[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS[9] и R[10].

Примечания

  1. Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита
  2. 1 2 3 Афанасьев, Сивов, 2010
  3. 1 2 3 4 5 Кобзарь, 2006
  4. Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9.
  5. Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3.
  6. Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6.
  7. Friedman Rank Sum Test
  8. Friedman's test
  9. Post-hoc comparisons for Friedman test
  10. Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code)

Литература

  • Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0
  • Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0
  • Myles Hollander, Douglas A. Wolfe Nonparametric Statistical Methods. — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. 139–146. — ISBN 9780471406358
  • Friedman, Milton (December 1937). «The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance». Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association) 32 (200): 675–701. DOI:10.2307/2279372.
  • Friedman, Milton (March 1939). «A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance». Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association) 34 (205): 109. DOI:10.2307/2279169.
  • Friedman, Milton (March 1940). «A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings». The Annals of Mathematical Statistics 11 (1): 86–92. DOI:10.1214/aoms/1177731944.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Критерий Фридмана" в других словарях:

  • Непараметрические статистические критерии (nonparametric statistical tests) — По сравнению со стандартными параметрическими процедурами, Непараметрические статистические методы основываются на более слабых допущениях в отношении анализируемых данных. Преимущества и издержки непараметрической статистики Существует… …   Психологическая энциклопедия

  • Проверка статистических гипотез — Проверки статистических гипотез  один из классов задач в математической статистике. Содержание 1 Статистические гипотезы 1.1 Определения 1.2 Пример …   Википедия

  • Критическая область — Проверки статистических гипотез класс базовых задач в математической статистике. Содержание 1 Статистические гипотезы 1.1 Определения 1.2 Пример …   Википедия

  • Вселенная — Крупномасштабная структура Вселенной как она выглядит в инфракрасных лучах с длиной волны 2,2 мкм  1 600 000 галактик, зарегистри …   Википедия

  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора

  • Статистика малых выборок (small-sample statistics) — Принято считать, что начало С. м. в. или, как ее часто называют, статистике «малых п», было положено в первом десятилетии XX века публикацией работы У. Госсета, в к рой он поместил t распределение, постулированное получившим чуть позже мировую… …   Психологическая энциклопедия

  • СССР. Естественные науки —         Математика          Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики иностранцы… …   Большая советская энциклопедия

  • Статистика в психологии (statistics in psychology) — Первое применение С. в психологии часто связывают с именем сэра Фрэнсиса Гальтона. В психологии под «статистикой» понимается применение количественных мер и методов для описания и анализа результатов психол. исслед. Психологии как науке С.… …   Психологическая энциклопедия

  • Инфляция — (Inflation) Инфляция это обесценивание денежной единицы, уменьшение ее покупательной способности Общая информация об инфляции, виды инфляции, в чем состоит экономическая сущность, причины и последствия инфляции, показатели и индекс инфляции, как… …   Энциклопедия инвестора

  • Сэвидж, Леонард Джимми — Леонард Джимми Сэвидж Leonard Jimmie Savage Дата рождения: 20 ноября 1917(1917 11 20) Дата смерти: 1 ноября 1971(1971 11 …   Википедия