Критерий Лиллиефорса


Критерий Лиллиефорса

Критерий Лиллиефорса — статистический критерий, названный по имени Хьюберта Лиллиефорса, профессора статистики Университета Джорджа Вашингтона, являющийся модификацией критерия Колмогорова–Смирнова. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что выборка распределена по нормальному закону для случая, когда параметры нормального распределения (математическое ожидание и дисперсия) априори неизвестны.

Проверка гипотезы проводится следующим образом:

  • Оценивается выборочное среднее и дисперсия;
  • Так же как при использовании критерия Колмогорова, находится максимальное отклонение между выборочной и теоретической интегральными функциями распределения.
  • Принимается решение, является ли статистически значимым наблюдаемое отклонение выборочной функции распределения от теоретической. В случае положительного ответа, нулевая гипотеза отвергается.

Основным источником погрешности критерия Лиллиефорса является то обстоятельство, что параметры теоретического распределения оцениваются по тем же самым данным, которые проверяются на соответствие распределению. Таким образом, максимальное отклонение будет меньше, чем в случае, когда параметры распределения оцениваются независимо. Поэтому «нулевое распределение» статистики критерия, т.е. распределение вероятности в предположении об истинности нулевой гипотезы, оказывается смещено в сторону меньших значений по сравнению с распределением Колмогорова. Оно известно как «распределение Лиллиефорса» и рассчитывается методом Монте-Карло.

Содержание

Табличные значения

В оригинальной статье 1967 года[1] Лиллиефорс даёт следующую таблицу, полученную методом Монте-Карло. В таблице указаны критические значения максимального отклонения выборочной интегральной функции распределения от теоретической. В случае, если для выборки объёмом N при уровне значимости α максимальное отклонение превышает указанную в таблице величину, нулевую гипотезу о соответствии выборки нормальному распределению следует отвергнуть.

При объёме выборки N>30 критические значения убывают обратно пропорционально квадратному корню из объёма выборки, поэтому их можно с достаточной точностью найти по формуле

\lambda_{\alpha ,N} =  \frac{\lambda_{\alpha 0}}{\sqrt{N}},

где значения λα0 указаны в формулах последней строки таблицы.

Размер
выборки
N
Уровень значимости для D = Max|F * (X)–SN(X)|
0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
4 0,300 0,319 0,352 0,381 0,417
5 0,285 0,299 0,315 0,337 0,405
6 0,265 0,277 0,294 0,319 0,364
7 0,247 0,258 0,276 0,300 0,348
8 0,233 0,244 0,261 0,285 0,331
9 0,223 0,233 0,249 0,271 0,311
10 0,215 0,224 0,239 0,258 0,294
11 0,206 0,217 0,230 0,249 0,284
12 0,199 0,212 0,223 0,242 0,275
13 0,190 0,202 0,214 0,234 0,268
14 0,183 0,194 0,207 0,227 0,261
15 0,177 0,187 0,201 0,220 0,257
16 0,173 0,182 0,195 0,213 0,250
17 0,169 0,177 0,189 0,206 0,245
18 0,166 0,173 0,184 0,200 0,239
19 0,163 0,169 0,179 0,195 0,235
20 0,160 0,166 0,174 0,190 0,231
25 0,149 0,153 0,165 0,180 0,203
30 0,131 0,136 0,144 0,161 0,187
Более 30 \frac{0,736}{\sqrt{N}} \frac{0,768}{\sqrt{N}} \frac{0,805}{\sqrt{N}} \frac{0,886}{\sqrt{N}} \frac{1,031}{\sqrt{N}}

Сравнение с критерием Колмогорова

Для критерия Лиллиефорса, так же как и для критерия Колмогорова, критические значения для больших выборок изменяются обратно пропорционально квадратному корню из объёма выборки. Коэффициенты λα0, фигурирующие в этой формуле могут служит показателем относительной величины критических отклонений для этих двух распределений.

Как показывают данные, приведённые в таблице, критические значения критерия Лиллиефорса примерно в 1,5 раза меньше, чем соответствующие значения для критерия Колмогорова. Это связано с тем, что параметры теоретической кривой для критерия Лиллиефорса вычисляются исходя из той же самой исходной выборки. Таким образом, по сравнению с критерием Колмогорова, теоретическая кривая искусственно «подогнана» под выборку, что даёт заниженные значения отклонений.

Критические значения λα0
для распределений:
Уровень значимости α
0,20 0,10 0,05 0,01
Распределение Колмогорова 1,073 1,224 1,358 1,627
Распределение Лиллиефорса 0,736 0,805 0,886 1,031

Примечания

См. также

Ссылки

Литература

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Критерий Лиллиефорса" в других словарях:

  • Критерий согласия Колмогорова — или Критерий согласия Колмогорова Смирнова  статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… …   Википедия

  • Критерий Вальда — (максиминный критерий[1])  один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на …   Википедия

  • Критерий согласия Пирсона — Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи квадрат)  наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая… …   Википедия

  • Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… …   Википедия

  • Критерий Кохрена — Критерий Кохрена  используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма . Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости , если: где   квантиль случайной величины при числе суммируемых… …   Википедия

  • Критерий Уилкоксона — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Т Крит …   Википедия

  • Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда… …   Википедия

  • U-критерий Манна — U критерий Манна  Уитни (англ. Mann Whitney U test)  статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять… …   Википедия

  • t-критерий Стьюдента — t критерий Стьюдента  общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t критерия связаны с проверкой равенства средних… …   Википедия

  • Проверка статистических гипотез — Проверки статистических гипотез  один из классов задач в математической статистике. Содержание 1 Статистические гипотезы 1.1 Определения 1.2 Пример …   Википедия