Глоссарий общей топологии

Эта страница — глоссарий. См. также основную статью: Общая топология

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Б

База топологии

Набор открытых множеств, такой, что любое открытое множество является объединением множеств из базы.

В

Внутренность

Совокупность всех внутренних точек множества. Наибольшее по включению открытое подмножество данного множества.

Внутренняя точка множества

Точка, которая входит в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.

Выколотая окрестность

Окрестность данной точки, из которой удалили саму эту точку.

Всюду плотное множество

Множество, замыкание которого совпадает со всем пространством.

Г

Гомеоморфизм

Биекция $f$, такая, что $f$ и $f^{-1}$ непрерывны.

Гомеоморфные пространства

Пространства, между которыми существует гомеоморфизм.

Гомотопия

Для непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ — непрерывное отображение $F\colon[0,\;1]\times X\to Y$, такое, что $F(0,\;x)=f(x)$ для любого $x\in X$. Часто используется обозначение $f_t(x)=F(t,\;x)$, в частности $f_0=f$.

Гомотопные отображения

Отображения $f,\;g\colon X\to Y$ называются гомотопными или $g\sim f$ если существует гомотопия $f_t$ такая, что $f_0=f$ и $f_1=g$.

Гомотопическая эквивалентность топологических пространств

Топологические пространства $X$ и $Y$ гомотопически эквиваленты, если существует пара непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to X$ таких, что $f\circ g\sim \mathrm{id}_Y$ и $g\circ f\sim \mathrm{id}_X$, здесь $\sim$ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений, то есть, эквивалентность с точностью до гомотопии. Также говорят, что $X$ и $Y$ имеют один гомотопический тип.

Гомотопический инвариант

Характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют ту же характеристику. Например, связанность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика являются гомотопическими инвариантами.

Гомотопический тип

Класс гомотопической эквивалентности топологических пространств, то есть, гомотопически эквивалентные пространства называются пространствами одного гомотопического типа.

Граница

1.  Относительная граница.

2.  То же, что край многообразия.

Д

Деформационный ретракт

Подмножество $A$ топологического пространства $X$, обладающее тем свойством, что существует гомотопия тождественного отображения пространства $\mathrm{id}_X$ в некоторое отображение $X\to A$, при которой все точки множества $A$ остаются неподвижными.

Дискретная топология

Топология, в которой любое множество открыто.

Дискретное множество

Множество, каждая точка которого является изолированной.

З

Замкнутое множество

Множество, являющееся дополнением к открытому.

Замкнутое отображение

Отображение, при котором образ любого замкнутого множества замкнут.

Замыкание

Минимальное замкнутое множество, содержащее данное.

И

Индуцированная топология

Топология на подмножестве $A$ топологического пространства, открытыми множествами в которой считаются пересечения открытых множеств объёмлющего пространства с $A$.

Изолированная точка множества

Точка $a$ называется изолированной для множества $A$ топологического пространства $X$, если существует окрестность $O(a)$ такая, что $A\cap O(a) = a$.

К

Категория Бэра

Характеристика топологические пространства, принимающее одно из двух значений: к первой категории Бэра относятся пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, прочие пространства относятся ко второй категории Бэра.

Компактное пространство

Топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Компонента связности точки

Максимальное связное множество, содержащее эту точку.

Континуум

Cвязное компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Конус над топологическим пространством

Для пространства $X$ (называемым основанием конуса) — пространство $\mathrm{C}X$, получающееся из произведения $X\times[0,\;1]$ стягиванием подпространства $X\times\{0\}$ в одну точку, называемую вершиной конуса.

Л

Линейно связное пространство

Пространство, в котором любую пару точек можно соединить кривой.

Локально компактное пространство

Пространство, в котором любая точка имеет компактную окрестность.

Локально конечное семейство подмножеств

Такое семейство подмножеств топологического пространства, что всякая точка этого пространства имеет окрестность, пересекающуюся только с конечным числом элементов этого семейства.

Локально связное пространство

Пространство, в котором любая точка имеет связную окрестность.

Локально стягиваемое пространство

Пространство, в котором любая точка имеет стягиваемую окрестность.

Локальный гомеоморфизм

Отображение $f\colon X\to Y$ топологических пространств, такое, что для каждой точки $x\in X$ найдется окрестность $U_x$, которая посредством $f$ отображается в $Y$ гомеоморфно. Иногда в определение локального гомеоморфизма автоматически включается требование $f(X)=Y$ и, кроме того, отображение $f$ предполагается открытым.

М

Массивное множество

Подмножество $S$ топологического пространства $X$, являющееся пересечением счётного числа открытых плотных в $X$ подмножеств. Если каждое массивное множество плотно в $X$, то $X$ является пространством Бэра.

Метризуемое пространство

Пространство, гомеоморфное метрическому пространству.

Многообразие

Хаусдорфово топологическое пространство, локально гомеоморфное евклидову пространству.

Многосвязная область

Область линейно связного пространства, фундаментальная группа которой не тривиальна.

Множество второй категории Бэра

Любое множество, которое не является множеством первой категории Бэра.

Множество первой категории Бэра

Множество, которое можно представить как счётное объединение нигде не плотных множеств.

Н

Накрытие

Отображение линейно связных пространств $p:X\to Y$, при котором у любой точки $y\in Y$ имеется окрестность $U\subset Y$, для которой существует гомеоморфизм $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$, где $\Gamma$ — дискретное пространство, для которого при условии $\pi:U\times \Gamma\to U$ обозначает естественную проекцию, то $p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h$.

Наследственное свойство

Свойство топологического пространства такое, что если пространство обладает этим свойством, то и любое его подпространство обладает этим свойством. Например: метризуемость и хаусдорфовость.

Непрерывное отображение

Отображение, при котором прообраз любого открытого множества открыт.

Нигде не плотное множество

Множество, замыкание которого не содержит открытых множеств (замыкание имеет пустую внутренность).

О

Область

Открытое связное подмножество топологического пространства.

Односвязное пространство

Связное пространство, любое отображение окружности в которое гомотопно постоянному отображению.

Окрестность

Открытая окрестность или множество, содержащее открытую окрестность.

Открытая окрестность

Для точки или множества — открытое множество, содержащее данную точку или данное множество.

Открытое множество

Множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью, понятие, используемое при определении топологического пространства.

Открытое отображение

Отображение, при котором образ любого открытого множества открыт.

Относительная граница

Пересечение замыкания подмножества топологического пространства с замыканием его дополнения. Граница множества $E$ обычно обозначается $\partial E$.

Относительная топология

То же, что индуцированная топология.

Относительно компактное множество

Подмножество топологического пространства, замыкание которого компактно. Также такое множество называется предкомпактным.

П

Паракомпактное пространство

Топологическое пространство, из любого открытого покрытия которого можно выделить локально конечное подпокрытие (то есть такое, что для любой точки можно найти окрестность пересекающуюся с конечным числом элементов этого подпокрытия).

Плотное множество

Множество в топологическом пространстве $X$, имеющее непустое пересечение с любой окрестностью произвольной точки $x \in X$.

Подпокрытие

Для покрытия $\{V_\alpha\}$, $\alpha\in A$ подпокрытием является $\{V_\beta\}$, где $\beta\in B\subset A$.

Подпространство

Подмножество топологического пространства, снабжённое индуцированной топологией.

Покрытие

Для подмножества или пространства $X$ — это представление его в виде объединения множеств $\{V_\alpha\}$, $\alpha\in A$, точнее это набор множеств $\{V_\alpha\}$, $\alpha\in A$ такой что $X\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha$. Чаще всего рассматривают открытые покрытия, то есть предполагают что все $\{V_\alpha\}$ являются открытыми множествами.

Порядковая топология

Топология на произвольном упорядоченном множестве $\langle X, \sqsubseteq \rangle$, введённая предбазой из множеств вида $\{x\in X\mid x \sqsubseteq a\}$ и $\{x\in X\mid a \sqsubseteq x\}$, где $a$ пробегает все элементы $X$.

Предбаза

Семейство $Y$ открытых подмножеств топологического пространства $X$ такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов $Y$, образует базу $X$.

Предельная точка

Для подмножества $A$ топологического пространства $X$ — такая точка $a\in X$, что в любой её выколотой окрестности с $A$ есть хотя бы одна точка из $A$.

Производное множество

Совокупность всех предельных точек.

Прямая Александрова (англ.)

Топологическое пространство над декартовым произведением вполне упорядоченного множества и вещественного полуинтервала $A \times [0, 1)$ с порядковой топологией при лексикографическом упорядочении, является нормальным хаусдорфовым неметризуемым пространством, важный контрпример во многих топологических рассуждениях.

Прямая Суслина (англ.)

Гипотетическое (его существование независимо от ZFC) полное линейно упорядоченное плотное множество, обладающее некоторыми свойствами обычной прямой, но не изоморфное ей.

С

Связное пространство

Пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества.

Сепарабельное пространство

Топологическое пространство, в котором имеется счётное всюду плотное множество.

Стягиваемое пространство

Пространство, гомотопически эквивалентное точке.

T

Топологический инвариант

Характеристика пространства, которая сохраняется при гомеоморфизме. То есть, если два пространства гомеоморфны, то они имеют ту же инвариантную характеристику. Например, топологическими инвариантами являются: компактность, связанность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.

Топологическое пространство

Множество, с заданной топологией, то есть определено, какие его подмножества являются открытыми.

Топология

Семейство подмножеств множества $X$, содержащее произвольное объединение и конечное пересечение входящих в него элементов, а также пустое множество и само $X$. Элементы семейства называются открытыми множествами. Также топология может быть введена через базу, как семейство, состоящее из всех произвольных объединений элементов базы.

Топология компактной сходимости

Топология, заданная на множестве непрерывных вещественных функций, определяемая семейством преднорм $p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N$, называется топологией компактной сходимости.

Топология равномерной сходимости

Пусть на векторном пространстве $L(K)$ непрерывных функций $f$ на компактном топологическом пространстве $K$ определена норма $\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|$. Топология, порождённая такой метрикой, называется топологией равномерной сходимости.

Топология Скотта

Топология над полным частично упорядоченным множеством, в которой открытыми считаются верхние множества, недоступные для прямых соединений.

Точка накопления

Для множества $M$ — точка топологического пространства, в любой проколотой окрестности которой содержится хотя бы одна точка $M$.

Точка полного накопления

Для множества $M$ ― точка $x\in M$ в топологическом пространстве $X$ такая, что пересечение $M$ с любой окрестностью $x$ имеет мощность ту же, что и все множество $M$.

Точка прикосновения

Для множества $M$ — точка, любая окрестность которой содержит хотя бы одну точку из $M$. Множество всех точек прикосновения совпадает с замыканием $\overline{M}$.

Ф

Факторпространство

Топологическое пространство на множестве классов эквивалентности: для топологического пространства $X$ и отношения эквивалентности $\sim$ топология на разбиении $X/\!\sim$ вводится определением открытых множеств как семейства всех множеств, прообраз которых открыт в $X$ при факторотображении (ставящем в соответствие элементу $x\in X$ его класс эквивалентности $[x]_{\sim} = \{y\in X\mid x\sim y\}$).

Х

Хаусдорфово пространство

Топологическое пространство, две любых различных точки которого обладают непересекающимися окрестностями.

Литература

• Бурбаки, Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
• Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Виро, О. Я., Иванов, О. А., Харламов, В. М., Нецветаев, Н. Ю. Задачный учебник по топологии.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.