Интеграл Лагранжа

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений.

Варианты названия

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа^[1] используются термины интеграл Коши^[2], интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия^[3], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady Bernoulli equation^[4], Bernoulli's theorem for unsteady potential flow^[5])

Историческая справка

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Л.Эйлером^[6]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости^[7] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости^[8].

Формулировка

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид

$\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{(\text{grad}\, \varphi)^2}{2}+\frac{p}{\rho} +gz=f(t),$

где $\varphi(x,y,z,t)$ — потенциал скорости, $p(x,y,z,t)$ — давление в жидкости, $\rho$ — ее плотность, $g$ — ускорение свободного падения, $x$, $y$, $z$ — декартовы координаты (ось $z$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь $f(t)$ — некоторая функция времени, которую можно считать тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости $\tilde \varphi(x,y,z,t) = \varphi(x,y,z,t) - \int f(t)\,dt$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, $\rho=\rho(p)$ (такой процесс называется баротропным). В этом случае поле массовых сил (действующая на жидкость объемная сила в расчете на единицу массы) обязательно будет потенциальным: $\vec F=\text{grad}\, U,$ где $U(x,y,z,t)$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости $\varphi$), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

$\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{(\text{grad}\, \varphi)^2}{2}+\int\frac{dp}{\rho (p)} - U=f(t).$

См. также

• Интеграл Бернулли
• Bernoulli equation for unsteady potential flow

Ссылки

1. ↑ Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
2. ↑ Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — 584 с.
3. ↑ Ламб Г. Гидродинамика. — М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — 928 с.
4. ↑ Kundu P.K., Cohen I.M. Fluid Mechanics. — Academic Press, 2002. — 730 с.
5. ↑ Faber Т.Е. Fluid dynamics for physicists. — Cambridge University Press, 1995. — 440 с.
6. ↑ Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315., русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6., исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6.
7. ↑ Lagrange Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781.
8. ↑ Cauchy Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1.