Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что

p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\

где p_n обозначает nпростое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.

Содержание

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно \frac{1}{\ln x}. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.[1]

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

предполагая истинной гипотезу Римана.[1]

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2]

\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.

Гипотеза Крамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера.[3]

В вероятностной модели,

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c, с c = 1.

Но константа c возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа c = 2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots.[4], где \gamma — постоянная Эйлера

Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми.[5] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив частное R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми; он писал, «Для наибольших известных пробелов, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как мининмум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера видится как лучшее приближение для данных.

См. также

Ссылки

  1. 1 2 3 Cramér, Harald (1936), "«On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers»", Acta Arithmetica Т. 2: 23–46, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf> .
  2. Westzynthius, E. (1931), "«Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind»", Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors Т. 5: 1-37 .
  3. Shanks, Daniel (1964), "«On Maximal Gaps between Successive Primes»", Mathematics of Computation (American Mathematical Society) . — Т. 18 (88): 646–651, DOI 10.2307/2002951 .
  4. Granville, A. (1995), "«Harald Cramér and the distribution of prime numbers»", Scandinavian Actuarial Journal Т. 1: 12–28, <http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf> .
  5. Nicely, Thomas R. (1999), "«New maximal prime gaps and first occurrences»", Mathematics of Computation Т. 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, <http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html> .

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Гипотеза Крамера" в других словарях:

  • КРАМЕРА - МИЗЕСА КРИТЕРИЙ — непараметрический критерий для проверки гипотезы Н 0, согласно к рой независимые одинаково распределенные случайные величины Х 1, ..., Х n имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x). К. М. к. основан на статистике вида где функция… …   Математическая энциклопедия

  • Интервалы между простыми числами — Интервалы между простыми чиcлами  это разности между двумя последовательными простыми числами. n ый интервал, обозначаемый ,  это разность между n+1 м и n ым простыми числами, то есть Мы имеем: . Последовательность интервалов между… …   Википедия

  • Открытые проблемы в теории чисел — Теория чисел  это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… …   Википедия

  • ИАКОВА ПОСЛАНИЕ — в составе НЗ одно из Соборных Посланий, автором к рого традиционно считается Иаков, брат Господень. Текстология Текст Послания впервые засвидетельствован в папирусных фрагментах III в. P20 (включает Иак 2. 19 3. 2, 4 9), P23 (Иак 1. 10 12, 15 16) …   Православная энциклопедия

  • СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ — определяющие правила, согласно к рымпо результатам наблюдений принимается решение в задаче статистическойпроверки гипотез. С. к. строится следующим образом. Выбирается проверочнаястатистика ф ция данных наблюдений х и проверяемой гипотезы… …   Физическая энциклопедия

  • НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ — методы математич. статистики, не предполагающие знания функционального вида генеральных распределений. Название непараметрические методы подчеркивает их отличие от классических параметрических методов, в к рых предполагается, что генеральное… …   Математическая энциклопедия

  • Теория гравитации Лесажа — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь …   Википедия

  • Гравитация Фатио-Леcажа — В Викитеке есть оригинал текста по этой теме. См. The Le Sage Theory of Gravitation В 1690 году швейцарский математик[1] Николас Фатио де Дуилье и в 1756 Жорж Луи Ле Саж в Женеве предложили простую кинетическую теорию гравитации, которая дала… …   Википедия

  • Гравитация Фатио-Лесажа — В Викитеке есть оригинал текста по этой теме. См. The Le Sage Theory of Gravitation В 1690 году швейцарский математик[1] Николас Фатио де Дуилье и в 1756 Жорж Луи Ле Саж в Женеве предложили простую кинетическую теорию гравитации, которая дала… …   Википедия

  • Германия — (лат. Germania, от Германцы, нем. Deutschland, буквально страна немцев, от Deutsche немец и Land страна)         государство в Европе (со столицей в г. Берлин), существовавшее до конца второй мировой войны 1939 45.          I. Исторический очерк …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»