Гауссов пучок

В оптике Гауссовым пучком называется пучок электромагнитного излучения, в котором распределение электрического поля и излучения в поперечном сечении хорошо аппроксимируется функцией Гаусса. Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значение в теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод более высокого порядка.

Математическое описание

Будем искать решение приведенного волнового уравнения, описывающего распространение такого пучка в виде^[1]

$\Psi = u(x,y,z)e^{(ikz)} ,$

где u(x, y,z) — медленно меняющаяся комплексная функция, которая и определяет свойства лазерного пучка, отличающие его от плоской волны. Применяя оператор Δ к функции Ψ, имеем

$\Delta\Psi = (\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2} + 2ik\frac{\partial u}{\partial z} - k^2u)e^{(ikz)} ,$

Если в выражении пренебречь второй производной u по z по сравнению c первой, то на основании приведенного волнового уравнения Гельмгольца получим уравнение

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + 2ik\frac{\partial u}{\partial z} = 0,$

Полученное уравнение относится к уравнениям параболического типа, а само приближение, в рамках которого оно было получено, называется параболическим приближением. Нетрудно показать, что уравнению будет удовлетворять гауссов пучок, амплитуда которого меняется по поперечной координате по гауссовому закону.

Для гауссова пучка можно записать выражение

$u = a \exp {(i(p+\frac{k}{2q}r^2))} ,$

где r²=x²+y². Параметр р — комплексный фазовый сдвиг при распространении света вдоль оси z, а q — комплексный параметр пучка, определяющий гауссово распределение поля по координате r, где r — расстояние от оси. Кроме того, q определяет кривизну волнового фронта, который вблизи оси является сферическим.

Рассмотрим свойства гауссова пучка с длиной волны λ более подробно. Для этого выразим комплексный параметр q через два действительных параметра пучка R и w

$\frac{1}{q} = \frac{1}{R} + i\frac{\lambda}{\pi w^2},$

где R есть радиус кривизны волнового фронта, а w характеризует изменение поля Е в поперечной плоскости (параметр w принято называть шириной пучка). Распределение поля в этой плоскости, подчиняется закону Гаусса, и w равно расстоянию, на котором амплитуда поля убывает в е раз по сравнению с полем на оси.

Свойства пучка

Ширина гауссова пучка w(z) как функция z. w₀: горловина пучка; b: глубина резкости; z_R: длина Рэлея; Θ: угловая расходимость пучка

Ширина пучка

В некоторой плоскости, называемой горловиной пучка, гауссов пучок стягивается к минимальной ширине w₀. В этой плоскости, от которой целесообразно отсчитывать расстояние z, фазовый фронт является плоским, и комплексный параметр пучка становится чисто мнимым

$q_0 = \frac{\pi w_0^2}{i \lambda} , z_R = iq_0 ,$

где z_R — длина Рэлея. Тогда ширина пучка на расстоянии z задается следующей формулой

$w(z) = w_0 \sqrt{1 + (\frac{\lambda z}{\pi w_0^2})^2}$

Радиус кривизны

Зависимость радиуса кривизны от координаты

$R(z) = z(1+(\frac{\pi w_0^2}{\lambda z})^2)$

Расходимость пучка

Образующая пучка w(z) представляет собой гиперболу, асимптота которой наклонена к оси под углом

$\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0}$

Этот угол равен углу дифракции основной моды в дальней зоне.

Моды высших порядков

Первые девять Эрмиттово-Гауссовых мод

Гауссовы пучки — лишь одно из возможных решений параксиального волнового уравнения. Комбинации различных ортогональных решений используются для моделирования лазерных пучков. В общем случае, если определен полный базис решений, то любой пучок может быть описан как суперпозиция решений из базиса.

Ссылки

1. ↑ П. В. Короленко, Оптика когерентного излучения, учебное пособие.