Вторая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций $\int\limits_a^b f(x)g(x) dx$ и может быть сформулирована в разных формах. Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении.^[1]

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и $f(x)\geqslant 0$ на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\xi\in[a,b]$ такая, что $\int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(a)\int\limits_a^\xi g(x) dx$.

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и $f(x)\geqslant 0$ на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\xi\in[a,b]$ такая, что $\int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(b)\int\limits_\xi^b g(x) dx$.

Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\xi\in[a,b]$ такая, что $\int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(a)\int\limits_a^\xi g(x) dx+f(b)\int\limits_\xi^b g(x) dx$.

См. также

• Среднее значение функции
• Первая теорема о среднем

Примечания

1. ↑ Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2). Глава 9. Определённый интеграл.