Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет фукция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.

Содержание

Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция Грина.

Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля u = u(\mathbf{r}, t). Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей, тогда u = u(\mathbf{r}, t) удовлетворяет волновому уравнению:

\frac{\varepsilon(\mathbf{r}, t)}{c^2}\frac{\partial^2 u(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2}-\Delta u(\mathbf{r}, t)=0,
\varepsilon(\mathbf{r}, t)=\varepsilon_0+\delta \varepsilon(\mathbf{r}, t),

где ~{c}скорость света в вакууме, ~{\varepsilon_0}—среднее значение диэлектрической проницаемости, ~{\delta \varepsilon(\mathbf{r}, t)}—флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости ~{\varepsilon_0} предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна, так же с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и не усредненная диэлектрическая проницаемость \varepsilon(\mathbf{r}, t)=\varepsilon(\mathbf{r}) не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядком больше характерных времен электромагнитного поля, среда как бы не успевает "среагировать" на изменение поля.

Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нем присутствует случайный параметр ~{\delta \varepsilon(\mathbf{r})}. Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.

Описывая рассеяние, интересны характеристики поля u = u(\mathbf{r}, t) , усредненные по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля \langle u(\mathbf{r}, t) \rangle и интенсивность I = I(\mathbf{r}, t), которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведется по флуктуациям диэлектрической проницаемости) \langle {u(\mathbf{r}, t)}^2 \rangle. Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усредненное отклонение от стреднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:

\langle \delta \varepsilon(\mathbf{r}) \rangle=0.

Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде u(\mathbf{r}, t)=0.Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида: u(\mathbf{r}, t)=u_0exp[i\mathbf{k_0}\mathbf{r}-iwt]. Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем: \frac{-w^2\varepsilon_0}{c^2} u(\mathbf{r},t)+{k_0}^2u(\mathbf{r}, t)=0. Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны ~w и волновой вектор ~k_0 связанны дисперсионным соотношением:

 {k_0}^2=\frac{w^2\varepsilon_0}{c^2}.

Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.

Определим функцию Грина G(\mathbf{r}, t). Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения , в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника w). Полагаем, что источник "адиабатически включился в бесконечно далеком прошлом", для этого дополним правую часть множителем ~exp[\alpha t], где ~\alpha -маленькая положительна величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:

\frac{\varepsilon(\mathbf{r})}{c^2}\frac{\partial^2 G(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2}-\Delta G(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r}).

Удобно искать решение этого уравнения в виде G(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}G(\mathbf{r}). Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:

\frac{\varepsilon(\mathbf{r})G(\mathbf{r})}{c^2}\frac{\partial^2 e^{-iwt+\alpha t}}{\partial t^2}-e^{-iwt+\alpha t}\Delta G(\mathbf{r})=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r}).

От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель  -(w+i\alpha)^2, тогда получаем уравнение на функцию G(\mathbf{r}):

\frac{-\varepsilon(\mathbf{r})(w+i\alpha)^2}{c^2}G(\mathbf{r})-\Delta G(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}).

Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости \varepsilon(\mathbf{r}), а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям \delta \varepsilon(\mathbf{r}). Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение \delta \varepsilon(\mathbf{r})-малой величиной.

Функция Грина для среды без флуктуаций.

Для начала необходимо найти функцию Грина G(\mathbf{r},t), отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемоcти, то есть \varepsilon(\mathbf{r})=\varepsilon_0:

\frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{\partial^2 G_0(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2}-\Delta G_0(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r})\! (1)

.

Снова ищем решение в виде  G_0(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}G_0(\mathbf{r}).Тогда G_0(\mathbf{r}) удовлетворяет уравнению:

-{k_0}^2 G_0(\mathbf{r})-\Delta G_0(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}),\! (2)

где величиной k_0 мы обозначили k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon_0}(w+i\alpha)}{c}. Видно, что у ~{k_0} присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение ~(2) удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:

F(\mathbf{k})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\mathbf{r})e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\, d\mathbf{r},\! (3)

F(\mathbf{r})=\frac{1}{{2\pi}^3}\int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\, d\mathbf{k},\! (4)

Выражение ~(3)—прямое Фурье-преобразование, F(\mathbf{k})Фурье-образ функции F(\mathbf{r}), выражение ~(4)—обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина G_0(\mathbf{r}) будем обозначать через G_0(\mathbf{k}). Делая Фурье-преобразования в уравнении ~(2) и учитывая, что ~\delta-функция является Фурье-преобразованием от единицы, получаем:

({k}^2-{k_0}^2)G_0(\mathbf{k})=1\! (5)

G_0(\mathbf{k})=\frac{1}{({k}^2-{k_0}^2)}\! (6)

Чтобы получить функцию G_0(\mathbf{r}) делаем обратное Фурье-преобразование от G_0(\mathbf{k}):

G_0(\mathbf{r})=\frac{1}{{2\pi}^3}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{({k}^2-{k_0}^2)}\, d\mathbf{k}\! (7)

Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора \mathbf{r} (под полярной осью, понимается ось, от которой отсчитывается угол ~\theta) :

G_0(\mathbf{r})=\frac{1}{2\pi^3}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{({k}^2-{k_0}^2)}\,dk=\frac{1}{{2\pi}^3}\int\limits_{0}^{2\pi}\,d\phi \int\limits_{0}^{\pi}sin{\theta}\,d\theta \int\limits_{0}^{\infty}k^2\frac{e^{ikr cos{\theta}}}{k^2-{k_0}^2}\,dk=
=\frac{2\pi}{2\pi^3}\int\limits_{\pi}^{0}\,dcos{\theta}\int\limits_{0}^{\infty}k^2\frac{e^{ikr cos{\theta}}}{k^2-{k_0}^2}\,dk=\frac{1}{2\pi^2}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-{k_0}^2}\Bigl[ \frac{e^{ikr cos{\theta}}}{ikr cos{\theta}} \Bigr]_{\pi}^{0}\,dk=
=\frac{1}{2\pi^2}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-{k_0}^2}\Bigl(\frac{e^{ikr}}{ikr}-\frac{e^{-ikr}}{ikr}\Bigr)\,dk=\frac{1}{2\pi^2ir}\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2-{k_0}^2}\,dk=
=\frac{1}{8\pi^2ir}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ke^{ikr}}{k^2-{k_0}^2}\,dk+\frac{1}{8{\pi}^2ir}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ke^{-ikr}}{k^2-{k_0}^2}\,dk=\frac{2\pi i e^{ik_0r}}{8{\pi}^2ir2}+\frac{2\pi ie^{ik_0r}}{8{\pi}^2ir2}=\frac{e^{ik_0r}}{4\pi r}

Для вычисления интеграла по сферическим координатам, мы воспользовались четностью функции \frac{k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2-{k_0}^2}, а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает ~e^{ikr}, тогда вычет берется в k=k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon_0}(w+i\alpha)}{c}. Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке k=-k_0, при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Нарправление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель ~(-1).

Итоговое выражение для функции Грина будет:  G_0(\mathbf{r}, t)=\frac{e^{ik_0r-iwt+\alpha t}}{4\pi r}. Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как \frac{1}{r} по мере удаления от источника.

Функция Грина с учетом флуктуаций.

Перепишем уравнение

\frac{-\varepsilon(\mathbf{r})(w+i\alpha)^2}{c^2}G(\mathbf{r})-\Delta G(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r})

в виде

(-{k_0}^2-\Delta )G(\mathbf{r})=\frac{\delta\varepsilon(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}{k_0}^2G(\mathbf{r})+\delta(\mathbf{r}).

Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать \delta\varepsilon(\mathbf{r}) малой величиной удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:

 G(\mathbf{r})=G_0(\mathbf{r})+\frac{{k_0}^2}{\varepsilon_0}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})G(\mathbf{r_1})\,dr_1.

Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:

 G(\mathbf{r})=G_0(\mathbf{r})+\frac{{k_0}^2}{\varepsilon_0}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})G_0(\mathbf{r_1})\,d\mathbf{r_1}+
 +\frac{{k_0}^4}{{\varepsilon_0}^2}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})\int G_0(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2})\delta\varepsilon(\mathbf{r_2})G_0(\mathbf{r_2})\,d\mathbf{r_1},d\mathbf{r_2}+...

Величина G(\mathbf{r})——случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднять по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоемкий шаг.

Примечания

Литература

  • С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский Введение в статистическую радиофизику, ч. 2, Случайные поля. М.: Наука, 1978
  • А. Исимару Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Т.1, 2. М.:Мир, 1981

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Функция Грина для случайно-неоднородной среды" в других словарях:

  • Функция Грина — используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача). Функция Грина это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как . Функции Грина полезны в… …   Википедия

  • Драма — Д. как поэтический род Происхождение Д. Восточная Д. Античная Д. Средневековая Д. Д. Ренессанса От Возрождения к классицизму Елизаветинская Д. Испанская Д. Классическая Д. Буржуазная Д. Ро …   Литературная энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.