Векторная авторегрессия

Векторная авторегрессия

Векторная авторегрессия (VAR, Vector AutoRegression)- модель динамики нескольких временных рядов, в которой текущие значения этих рядов зависят от прошлых значений этих же временных рядов. Модель предложена Кристофером Симсом как альтернатива системам одновременных уравнений, которые предполагают существенные теоретические ограничения. VAR-модели свободны от ограничений структурных моделей. Тем не менее, проблема VAR-моделей заключается в резком росте количества параметров с увеличением количества анализируемых временных рядов и количества лагов.

Содержание

Формальное представление

Фактически VAR - это система эконометрических уравнений, каждая из которых представляет собой модель авторегрессии и распределенного лага (ADL). Пусть y^i, i=1..k - i-й временной ряд. ADL(p,p)-модель для i-го временного ряда будет иметь вид

y^i_t=a^i_0+\sum_{j=1}^{k} a^i_{1j} y^j_{t-1}+\sum_{j=1}^{k} a^i_{2j} y^j_{t-2}+...+\sum_{j=1}^{k} a^i_{pj} y^j_{t-p}+\varepsilon^i_{t}

Более удобной и компактной, однако, является векторно-матричная запись модели. Для этого вводится вектор временных рядов y_t=(y^1_t, y^2_t, ... y^k_t). Тогда вышеприведенные уравнения для каждого временного ряда можно записать одним уравнением в векторной форме:

y_t=a_0+A_1 y_{t-1}+A_2 y_{t-2}+...+A_p y_{t-p}+\varepsilon_t=a_0+\sum_{m=1}^p A_m y_{t-m}+\varepsilon_t

где A_m - матрицы элеметов a^i_{mj}.

Это и есть модель векторной авторегрессии порядка p - VAR(p).

Приведенная модель является замкнутой, в том смысле, что в качестве объясняющих переменных выступают только лаги эндогенных (объясняемых) переменных. Однако, ничто не мешает дополнить модель некоторыми экзогенными переменными и их лагами, например, до порядка q. Такую модель называют открытой. В матричном виде ее можно представить следующим образом:

y_t=a_0+\sum_{m=1}^p A_m y_{t-m}+\sum_{n=0}^q B_n x_{t-n}+\varepsilon_t

Операторное представление

Еще более простую форму имеют модели векторной авторегрессии в операторной форме с использованием лагового оператора L:~ Lx_t=x_{t-1}

A(L)y_t=a_0+B(L)x_t+\varepsilon_t, ~A(L)=I-\sum_{m=1}^p A_m L^m, ~ B(L)=\sum_{n=0}^q B_n L^n

Если корни характеристического полинома det(A(z)) лежат вне единичного круга (в комплексной плоскости), то такой процесс векторной авторегрессии является стабильным (аналог понятия стационарности одиночных авторегрессионных моделей). Если условие стабильности выполнено, то допустимо следующее представление VAR-моделей:

y_t=A^{-1}(L)a_0+A^{-1}(L)B(L)x_t+A^{-1}(L)\varepsilon_t=y_t=A^{-1}(1)a_0+C(L)x_t+u_t

Матричный полином C(L) в данном представлении называется передаточной функцией. Долговременную связь между эндогенными и экзогенными переменными можно получить, подставив в это представление вместо оператора лага единицу:

y^*_t=A^{-1}(1)a_0+A^{-1}(1)B(1)x^*_t=A^{-1}(1)a_0+C(1)x^*_t

Матрица C(1) называется матрицей долгосрочных мультипликаторов. Модели VAR также допускают ECM-представление, которую иногда называют векторной моделью исправления ошибок (VEC).

VAR, VEC и коинтеграция

Рассмотрим эту взаимосвязь на примере простейшей модели VAR(1)

y_t=Ay_{t-1}+\varepsilon_t

Пусть C-матрица собственных векторов матрицы A. Пусть x_t=C^{-1}y_t ~ \Rightarrow y_t=Cx_t. Тогда исходная модель имеет вид

C x_t=ACx_{t-1}+\varepsilon_t ~\Rightarrow x_t=C^{-1}ACx_{t-1}+C^{-1}\varepsilon_t

Учитывая, что C-матрица собственных векторов матрицы А, получаем, что C^{-1}AC=\Lambda - диагональная матрица из собственных значений матрицы A. То есть такое преобразование позволило получить совокупность AR(1)- моделей:

x^i_t=\lambda_i x^i_{t-1}+u^i_{t}

Условие стационарности AR(1)-процессов известно и очень простое - коэффициент авторегрессии по модулю должен быть меньше 1. Если условия стационарности выполнены хотя бы для одного из этих уравнений (то есть у матрицы A хотя бы одно из собственных значений по модулю меньше 1), то получаем, что имеется стационарная линейная комбинация исходных временных рядов. Если исходные ряды являются нестационарными I(1)-рядами, то есть интегрированными первого порядка, то это означает, что исходные временные ряды будут коинтегрированными. Количество таких собственных значений равно рангу коинтеграции. Если ранг коинтеграции равен количеству переменных, то исходные временные ряды являются стационарными (не содержат единичных корней) и можно строить обычную VAR-модель.

Если временные ряды стационарны, то можно построить обычный VAR. Если они интегрированны, но нет коинтеграции, то строится VAR для разностей соответствующего порядка. Если имеется коинтеграция, то строится модель исправления ошибок (VECM)

Методы оценки

См. также

Литература

Ссылки

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Векторная авторегрессия" в других словарях:

  • Gretl — GNU Regression, Econometrics and Time series Library …   Википедия

  • Модель исправления ошибок — Модель исправления (коррекции) ошибок (англ. ECM, Error Correction Model) модель временных рядов, в которой краткосрочная динамика корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. В виде ECM формально …   Википедия

  • Коинтеграция — свойство нескольких нестационарных (интегрированных) временных рядов, заключающееся в существовании некоторой их стационарной линейной комбинации. Концепция коинтеграции впервые была предложена Грэнджером в 1981 году. В дальнейшем данное… …   Википедия

  • VAR — Var, VAR  аббреватуры: Value Added Reseller  компания, которая модифицирует/расширяет возможности уже существующего продукта, а затем перепродает его как новый продукт; Value At Risk  стоимостная мера риска; Vector… …   Википедия

  • Авторегрессионная модель — Авторегрессионная (AR ) модель  модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда. Авторегрессионный процесс порядка p (AR(p) процесс) определяется следующим… …   Википедия

  • Система одновременных уравнений — Система одновременных уравнений  совокупность эконометрических уравнений (часто линейных), определяющих взаимозависимость экономических переменных. Важным отличительным признаком системы «одновременных» уравнений от прочих систем уравнений… …   Википедия

  • Тест Грэнджера на причинность — (англ. Granger causality test)  процедура проверки причинно следственной связи («причинность по Грэнджеру») между временными рядами. Идея теста заключается в том, что значения (изменения) временного ряда , являющегося причиной изменений …   Википедия

  • Кристофер Симс — Американский экономист Кристофер Симс (Christopher Sims) родился 21 октября 1942 года в Вашингтоне (США). В 1963 году получил степень бакалавра в Гарвардском колледже, в 1964 году ‑ степень магистра в Университете Калифорнии в Беркли. В 1968 году …   Энциклопедия ньюсмейкеров


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»