Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Брауэр доказал теорему для случая $n=3$ в 1909.

Формулировка

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве $B^n\subset \mathbb R^n$. Пусть $f \colon B^n\to B^n\!\,$ — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка $x\in B^n$, что $f(x)=x\!\,$.

Доказательство

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь $f \colon B^n\to B^n$ — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки $x$ рассмотрим прямую, проходящую через точки $x$ и $f(x)$ (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть $y$ — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем $x$ лежит между $f(x)$ и $y$. Легко видеть, что отображение $x\mapsto y$ — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения

• Теорема Шаудера о неподвижной точке (англ.) является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
• Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.

Следствия

• Теорема о причёсывании ежа
• Теорема Лефшеца

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Fixed Point Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.