Банаховы пределы

Линейный функционал $\mathrm\Beta\in l_{\infty}^{*}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $B(\mathbf{1})=1$^{[Примечание 1]}

2) $B\ge 0$ для любых $x\geq 0$

3) $B(Tx)=B(x)$ для любого $x\in l_{\infty}$ , где $T$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: $T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)$

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом^[1]. Из определения следует, что $\|B\|_{l_{\infty}^{*}}=1$ и $B(x_1,x_2,...)=\lim_{n \to \infty}x_n$, если последовательность $x_1,x_2,...$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как $\mathfrak{B}$. $\mathfrak{B}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства $l_{\infty}^{*}$. Для любых $B_1,B_2\in\mathfrak{B}$ справедливо неравенство $\|B_1-B_2\|\le2$ ^[2][3].

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если $B_1(x)\le B_2(x) \quad \forall x\in l_{\infty} \quad x\ge 0$, то $B_1(x)=B_2(x)$ ^[4].

Доказательство

Если $B_1(u)\le B_2(u)$ для какого-то $u\in l_{\infty} \quad u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \forall \lambda > 0 \quad u\ne 0 \quad B_1(\lambda u) < B_2(\lambda u)$ . Возьмём $0 < \lambda < \frac{1}{\|u\|} \quad\Rightarrow\quad 0 \le \lambda u \le \mathbf{1} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{1}-\lambda u\ge 0$ , $B_1(\mathbf{1}-\lambda u)=1-B_1(\lambda u)>1-B_2(\lambda u)=B_2(\mathbf{1}-\lambda u)$

Получаем противоречие, которое доказывает лемму^[4].

Теорема 1

Функционал $f\in l_{\infty}^{*}$ можно представить в виде $f=B_1-B_2$ ($B_1,B_2\in\mathfrak{B}$) тогда и только тогда, когда

1. $f(Tx)=f(x)$ для всех $x\in l_{\infty}$
2. $f(\mathbf{1})=1$
3. $\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 2$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы $\|f\|_{l_{\infty}^{*}}=2$ ^[4].

Доказательство

Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

$g=\max(f,0)=\sup_{0\le u\le x}f(u)\quad g\in l_{\infty}^{*}\quad g\ge 0 \quad\forall x\le 0$

Используя свойства 1.—3. получаем:

$g(\mathbf{1})=\sup_{0\le u\le \mathbf{1}}f(u)=\sup_{0\le u+\frac{1}{2}\mathbf{1}\le \mathbf{1}}f(u+\frac{1}{2}\mathbf{1})=\sup_{-\frac{1}{2}\mathbf{1}\le u\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} (f(u)+\frac{1}{2}f(\mathbf{1}))=\sup_{\left | u \right |\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} f(u)=\frac{1}{2}\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 1$ Для $B\in\mathfrak{B}$ справедливо, что $B_1=g+(1-\frac{\|f\|}{2})B\ge 0 \qquad B_1(Tx)=B_1(x) \qquad B_1(\mathbf{1})=1$,

значит $B_1$ — банахов предел. То же самое верно для функционала $B_2=B_1-f=g-f+(1-\frac{\|f\|}{2})B$. По построению $B_1-B_2=f$. Докажем единственность такого представления при $\|f\|=0$. Пусть $f=B_1-B_2$ при $\|f\|=0$.

$B_1=f+B_2 \quad B_2=f-B_1$
$B_1\ge 0 \quad B_1\ge 0 \Rightarrow B_1\ge f \quad B_2\ge f$
$B_1\ge \max(f,0) \quad B_2\ge \max(-f,0)$

Выше доказано, что $max(f,0)\in\mathfrak{B}$, аналогичные рассуждения показывают, что $max(-f,0)\in\mathfrak{B}$. По лемме 1 получаем

$B_1=\max(f,0) \quad B_2=\max(-f,0)$

Теорема доказана^[4].

Понятие почти сходимости

Для заданных $a\in\R^1$ , $x\in l_{\infty}$, для любых $\mathrm\Beta\in \mathfrak{B}$

$B(x)=a\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k=a$

равномерно по $m\in\N$ ^[5]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом^[6]:

$\lim_{n \to \infty}\inf_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k\le B(x)\le\lim_{n \to \infty}\sup_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k$

Последовательность $x\in l_{\infty}$ называется почти сходящейся к числу $a\in\R^1$, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны $a$. Используется следующее обозначение: $Lim\,x_k=a$. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение $ac$. $ac$ — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в $l_{\infty}$ . Множество почти сходящихся к числу $s$ последовательностей обозначается как $ac_s$. Ясно, что $ac_s\subset ac$ для любого $s$ ^[4].

Пример

Последовательность $x=(1,0,1,0,...)$ не имеет обычного предела, но $Lim\,x=\frac{1}{2}$ . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: $x_k=1-x_{k+1}$ .

$Lim\,x_k=Lim\,(\mathbf{1}-x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_k$

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду ^[4].

Характеристические функции

Системой Радемахера называется последовательность функций

$r_n(t)=\sgn\sin(2^n\pi t) \quad n\in\N \quad t\in[0,1]$

Каждому $B\in\mathfrak{B}$ можно поставить в соответствие функцию

$f_B(t)=B(r_n(t))$

которая называется характеристической функцией банахова предела $B$. $f_B$ — комплекснозначная функция^[2].

Теорема 2

Если $A,B\in\mathfrak{B}$ и $f_A(t)\le f_B(t)$ для всех $t\in(0,1)$ , то $A=B$ для всех $x\in l_{\infty}$ ^[2].

Свойства характеристических функций

Пусть $A,B\in\mathfrak{B}$ , тогда

1. $f_B(t)$ периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из $(0,1)$
2. $f_B(t)=f_B(\frac{t}{2})$ для любых $t\in(0,1)$
3. $\forall \lambda \in [0,1] \, \exists \, x \in 2^\N \cap ac$ , что $B(x) = \lambda$ для любого $B \in \mathfrak{B}$ и $Im \, f_B = [-1,1]$
4. график $f_B$ плотен в прямоугольнике $[0,1] \times [-1,1]$
5. $f_B(t)+f_B(1-t)=0$ для всех $t \in (0,1)$

^[2]

Источники

1. ↑ Стефан Банах, 1932
2. ↑ ^{1 2 3 4} Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв, 2010
3. ↑ E.Semenov and F.Sukochev
4. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Усачёв А.А., 2009
5. ↑ Lorentz G.G., 1948
6. ↑ Sucheston L., 1967

Примечания

1. ↑ Здесь и далее под $\mathbf{1}$ понимается последовательность $(1,1,1,...)$

Литература

• Стефан Банах Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
• Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51. — № 4.
• E.Semenov and F.Sukochev Extreme points of the set of banach limits (англ.).
• Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
• Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
• Sucheston L. Banach limits. — 1967. (англ.)