Алгоритм Гаусса вычисления даты Пасхи

Алгори́тм Га́усса вычисления даты Пасхи — математический алгоритм, предназначенный для определения дня празднования Пасхи в любом году. Предложен впервые немецким математиком Карлом Гауссом в 1800 году.

Алгоритм для вычисления даты Пасхи

Для определения даты Православной пасхи по старому стилю необходимо:

1. Разделить номер года на 19 и определить остаток от деления a.
2. Разделить номер года на 4 и определить остаток от деления b.
3. Разделить номер года на 7 и определить остаток от деления c.
4. Разделить сумму 19a + 15 на 30 и определить остаток d.
5. Разделить сумму 2b + 4c + 6d + 6 на 7 и определить остаток e.
6. Определить сумму f = d + e.
7. Если f ≤ 9, то Пасха будет праздноваться 22 + f марта; если f > 9, то Пасха будет праздноваться f - 9 апреля.

Более сложный алгоритм расчёта Католической пасхи покажем на примере.

Пример на 1777 год (год рождения Карла Гаусса):

Выражение	год = 1777
a = год mod 19	a = 10
b = год mod 4	b = 1
c = год mod 7	c = 6
k = целая часть (год/100)	k = 17
p = целая часть ((13 + 8k)/25)	p = 5
q = целая часть (k/4)	q = 4
M = (15 − p + k − q) mod 30	M = 23
N = (4 + k − q) mod 7	N = 3
d = (19a + M) mod 30	d = 3
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7	e = 5
Дата Пасхи по новому стилю: 22 + d + e марта или d + e − 9 апреля	30 марта
Если d = 29 и e = 6, то вместо 26 апреля будет 19 апреля
Если d = 28, e = 6 и (11M + 11) mod 30 < 19, то вместо 25 апреля будет 18 апреля

Важнейшие оговорки

• Данный алгоритм применим только для Католической пасхи.Для расчёта даты Православной пасхи по старому стилю значения величин M и N принимаются:M=15 и N=6 независимо от века,а не вычисляются по приведённым формулам.Для перевода на новый стиль дату, как известно,нужно сдвинуть вперёд на 13 дней в 20-м и 21-м веках. Католическая пасха обязательно происходит между 22 марта и 25 апреля.Православная пасха в 20-м и 21-м веках происходит в период с 4-го апреля по 8-е мая.
• Формулы для расчёта Католической пасхи предусматривают два исключения: если d = 29 и e = 6, то Пасха переносится с 26 на 19 апреля^[1]; если d = 28 и e = 6, то с 25 на 18 апреля^[2]. Это условие было введено Гауссом в 1811 году.

Компьютерную программу,реализующую данный алгоритм и результаты её работы для 20-го и 21-го веков, можно посмотреть на сайте [ http://nabasice.narod2.ru/].

История создания алгоритма

В 1800 году Карл Фридрих Гаусс впервые представил алгоритм для вычисления Пасхи по старому и новому стилям^[3][4]. Гаусс неоднократно корректировал алгоритм: так, в 1807 году из алгоритма было исключено условие (11M + 11) mod 30 < 19, вместо которого было выбрано более простое a > 10. В 1811 году он добавил условия по поводу переноса дат в апреле с 26 на 19 и с 25 на 18 число, указав, что этот алгоритм применим для вычсиелния дат в XVIII и XIX веках.

В 1816 году его студент Петер Пауль Титтель обнаружил ошибку в вычислении даты Пасхи в 1800 году: значение p = целая часть (k/3) было установлено некорректно. Гаусс исправил эту ошибку и отблагодарил студента за помощь^[5].

Примечания

1. ↑ Этот случай произошёл в 1981 году.
2. ↑ Этот случай произошёл в 1954 году.
3. ↑ Статья Гаусса о Пасхе 1800 года  (нем.)
4. ↑ Статья Гаусса о Пасхе 1800 года в его работах  (нем.)
5. ↑ Reinhold Bien, "Gauß and Beyond: The Making of Easter Algorithms" Archive for History of Exact Sciences 58/5 (July 2004) 439−452.

Литература

• С.Куликов. Нить времен. "Наука", 1991
• О старом и новом стиле. / “В мир информатики” № 114 (“Информатика” № 20/2008).
• Кинкелин Г. Вычисление христианской Пасхи // Математический сборник Московского математического общества. М., 1870. Т. 5. С. 73–92.

Ссылки

• Время & Календари. Расчет Православной Пасхалии
• Алгоритм расчёта праздника Пасхи