*-алгебра


*-алгебра

*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

Содержание

*-кольцо

*-кольцо — кольцо с унарной операцией * которое является

  • антиавтоморфизмом, то есть
\ (x + y)^* = x^* + y^*
\ (x y)^* = y^* x^*
\ 1^* = 1
\ (x^*)^* = x.

Такое кольцо еще называется — кольцо с инволюцией.

*-алгебра

*-алгебра A это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в R \subset A.

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad  \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A.

*-гомоморфизм \ f: A \to B — это гомоморфизм алгебр который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.

  • Элементы для которых \ x^*= x называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
  • Элементы для которых \ x^*=-x называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
  • Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде \phi(x,y) = x^* \cdot y.

C*-алгебра

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для которой выполняется C*-свойство:

 \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,
 \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

 \|x x^* \| = \|x\|^2.

Примеры

Свойства

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

См. также

Библиография

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, стр. 142-150.

Wikimedia Foundation. 2010.


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.