Точнорешаемая задача

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Алгебраические уравнения

Решить уравнение $f\left( x \right) = 0$ с неизвестным $x$ значит найти значения $x$ (корни уравнения), нули функции $f\left( x \right)$, удовлетворяющие этому уравнению^[1].

Значения неизвестного $x$, которые удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке вместо $x$ обращают уравнение в тождество, называются корнями уравнения, а также соответствующего ему многочлена.^[2].

Соответственно, Решением некоторого множества (системы) уравнений

$f_i \left( {x_1 ,x_2 , ...} \right) = 0\,\,,\,\,\,i = 1,2,3,...$

с неизвестными $x_1 ,x_2 ,x_3 ,....$ называется множество значений неизвестных $x_1 ,x_2 ,x_3 ,....$, удовлетворяющих одновременно каждому уравнению системы. Система уравнений решена полностью, если найдены все такие решения.^[3].

Решение является приближённым, если при подстановке в алгебраическое уравнение (систему уравнений) разница между значением правой и левой части уравнения будет ниже допустимой погрешности решения.

Дифференциальные (Интегро-дифференциальные) уравнения

В дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях каждое уравнение имеет бесконечное количество численных решений, и потому вопрос стоит о возможности описать совокупность всех численных решений данного дифференциального уравнения^[4].

Решение (интегрирование) дифференциального уравнения заключается в отыскании функций (решений, интегралов) $y\left( x \right)$ в определённом конечном или бесконечном интервале $\left( {a,b} \right)$. Заметим, что решения могут быть проверены подстановкой в уравнение^[5].

Интегрирование системы дифференциальных уравнений часто можно свести к интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n, путём последовательного исключения (n — 1) переменных и их производных или замены высших производных вспомогательными неизвестными функциями^[6].

Решение является приближённым, если на всём интервале интегрирования $\left( {a,b} \right)$ при подстановке решения в дифференциальное уравнение (систему уравнений) разница между значением правой и левой части уравнения будет ниже допустимой погрешности решения.

Математическая статистика

Схемы критериев с фиксированной выборкой и последовательных критериев представляют собой частные случаи решающих функций или правил поведения, связанных с принятием гипотезы (решением) по каждой выборке некоторого наблюдаемого признака^[7].

Критерии обоснования решений

В основу поиска решений как алгебраических, так и дифференциальных уравнений положены теоремы о существовании решений и их единственности.

Теоремы существования

Для корректности постановки начальной или краевой задачи требуется доказательство существования решения, указывающее иногда и путь его построения. Существование физического явления, описываемого данным дифференциальным уравнением, может лишь подсказать, но не доказать существование решения; доказательство существования проверяет самостоятельность математической модели^[8].

Для алгебраических уравнений теоремы существования базируются на ряде теорем. В частности, на теореме Абеля — Руффини о невозможности получить решения в радикалах для любого степенного уравнения выше пятого; на теореме о соответствии количества корней степени алгебраического уравнения; на критерии устойчивости Рауса — Гурвица, теореме Штурма, определяющих наличие у решений отрицательной действительной части, и т. д.

Для системы уравнений используются правило Крамера; условие нетривиального решения однородных линейных уравнений с нулевой правой частью, заключающееся в обращении в ноль главного детерминанта системы; условие линейной независимости уравнений, заключающееся в равенстве количества неизвестных количеству уравнений системы; условия наличия решения как следствия равенства рангов матрицы и расширенной матрицы системы, и т. д.^[9].

Для дифференциальных уравнений теоремы существования строятся на методе Коши, заключающемся в поиске решения в виде ряда и доказательстве сходимости этого ряда для дифференциальных уравнений при достаточно широких допущениях относительно правой части; на методе приближений Пикара^[10], методе сжатых изображений^[11] и т. д.

Теоремы единственности решений

Данный класс теорем определяет единственность и полноту решений как алгебраических, так и интегро-дифференциальных уравнений. В частности, для дифференциальных уравнений геометрическая трактовка теорем такова: через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая. Для системы алгебраических уравнений теорема единственности устанавливает, что система n уравнений может иметь не более n решений. В аналитической геометрии теорема единственности определяет единственность разложения вектора по базису, как и независимость векторов базиса (полноту базиса)^[12]. В теории функций теорема единственности доказывает однозначность представления каждой совокупности точек в некоторой области конкретной аналитичской функцией^[13]. В отношении единственности представления аналитическими функциями следует учитывать, что в общем случае одна и та же совокупность точек может описываться как некоторой частной функцией, так и обобщающей её функцией, принимающей различный вид в каждой из областей определения функции. Это порождает бифуркации (ветвления) функции, а соответственно и решений моделирующей системы уравнений^[14].

Данный класс теорем, как правило, доказывается «от противного», то есть предполагается, что при заданных условиях теоремы существует несколько решений, векторы базиса могут быть выражены друг через друга и т. д. и путём рассмотрения данного предположения приводят к выводу о некорректности сделанного предположения, чем доказывается основное утверждение теоремы о единственности решения^[15].

Формы представления решений

Решения уравнений могут быть получены в одной из двух форм:

• Аналитическая форма
• Численный вид

Аналитическая форма всегда предпочтительней, поскольку позволяет использовать решение для прямого анализа влияния входящих в него параметров. В численном виде это затруднительно. Численные и приближённые методы решения используются в связи с тем, что диапазон точных решений существенно ограничен.^[16]. Наилучший результат дают комбинированные решения, когда в основу численного метода закладывается некоторое аналитическое решение близкой задачи, которое распространяется численными методами на область задач, где аналитические решения отсутствуют. Главная опасность, которая существует в данном комбинированном методе, заключается в неучёте особенностей перехода от точно решаемой к численно решаемой задаче. В частности, существующие приближённые решения для динамических систем с сосредоточенными параметрами, через известные аналитические решения для систем с распределёнными параметрами, содержат систематическую ошибку по фазе колебаний, которая возникает в связи с тем, что при предельном переходе от систем с сосредоточенными параметрами к системам с распределёнными параметрами фазовые соотношения трансформируются таким образом, что при обратном переходе невосстановимы^[17].

Примечания

1. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 41
2. ↑ Виноградов И. М. Алгебраическое уравнение. Математическая энциклопедия. М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 192
3. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 49
4. ↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 9
5. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 252
6. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 253
7. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 565
8. ↑ Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 253
9. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 50
10. ↑ Фрейман Л. С. Теоремы существования. М., Наука, 1968.
11. ↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 153
12. ↑ Гурский Е. И., Ершова В. В. Основы линейной алгебры и аналитическая геометрия. Минск, Вышейшая школа, 1968, с. 113
13. ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 1-2, М., Наука,1969, с. 426
14. ↑ Solutions for infinite elastic lumped lines_rus
15. ↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 159
16. ↑ Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969, с. 39
17. ↑ Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний84