- Тест Вальда
-
Тест Вальда (англ. Wald test) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей , оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трех базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объем выборки.
Содержание
Сущность и процедура теста
Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу , где g-совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста заключается в том, что если нулевая гипотеза верна, то и выборочный вектор должен быть в некотором смысле близок к нулю. Предполагается, что оценки параметров хотя бы состоятельны и асимптотически нормальны (таковы, например, оценки метода максимального правдоподобия),то есть
где - якобиан (матрица первых производных) вектора g(b) в точке b.
Тогда
Это и есть статистика Вальда. Поскольку ковариационная матрица , вообще говоря, на практике неизвестна, то вместо нее используется некоторая ее оценка. Также вместо неизвестных истинных значений коэффициентов используют их оценки . Следовательно на практике мы получаем приблизительное значение вышеуказанной величины.
Если эта статистика больше критического значения при данном уровне значимости , то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу модели без ограничений ("длинная модель"). В противном случае ограничения могут иметь место и лучше построить модель с ограничениями, называемую "короткой моделью".
Необходимо отметить, что тест Вальда чувствителен к способу формулировки нелинейных ограничений. Например, простое ограничение равенства двух коэффициентов можно сформулировать как равенство их отношения единице. Тогда результаты теста теоретически могут быть разными, несмотря на то, что гипотеза одна и та же.
Частные случаи
Если функции g-линейны, то есть проверяется гипотеза следующего вида , где A-некоторая матрица ограничений, a-некоторый вектор, то матрица G(b) в данном случае - это фиксированная матрица A. Если речь идет о классической линейной модели регрессии, то ковариационная матрица оценок коэффициентов равна . Поскольку дисперсия ошибок неизвестна, то используют либо ее состоятельную оценку , либо несмещенную оценку . Следовательно, статистика Вальда тогда имеет вид:
В частном случае, когда матрица ограничений единичная (то есть проверяются равенства коэффициентов некоторым значениям), то формула упрощается:
Если рассматривается только одно линейное ограничение , то статистика Вальда будет равна
В данном случае статистика Вальда оказывается равной квадрату -статистики.
Можно показать, что статистика Вальда для классической линейной модели выражается через суммы квадратов остатков длинной и короткой моделей следующим образом
Здесь индекс L относится к длинной модели (long), а S-к короткой (short). Если используется несмещенная оценка дисперсии ошибок, то в формуле вместо необходимо использовать .
В частности, для проверки значимости регрессии в целом , поэтому получаем следующую формулу для статистики Вальда
где - коэффициент детерминации.
Взаимосвязь с другими тестами
Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM)- асимптотически эквивалентные тесты (). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство . Тем самым тест Вальда будет чаще других тестов отвергать нулевую гипотезу об ограничениях. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая - вообще говоря, нет.
Вместо теста Вальда можно использовать F-тест, статистика которого рассчитывается по формуле:
или еще проще , если при расчете статистики Вальда использовалась несмещенная оценка дисперсии. Эта статистика имеет в общем случае асимптотическое распределение Фишера . В случае нормального распределения данных - то и на конечных выборках.
Литература
- Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
- William H. Greene Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.
Для улучшения этой статьи по статистике желательно?: - Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
Статистические показатели Описательная
статистикаНепрерывные
данныеКоэффициент сдвига Среднее (Арифметическое, Геометрическое, Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс Дискретные
данныеЧастота · Таблица контингентности Статистический
вывод и
проверка
гипотезСтатистический
выводДоверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование
экспериментаГенеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения · Метод максимального правдоподобия · Метод моментов нахождения оценок · Оценка минимального расстояния · Оценка максимального интервала Статистические
критерииZ-тест · t-критерий Стьюдента · Критерий Фишера · Критерий Пирсона (Хи-квадрат) · Критерий согласия Колмогорова · Тест Вальда · U-критерий Манна — Уитни · Критерий Уилкоксона · Критерий Краскела — Уоллиса · Критерий Кохрена · Критерий Лиллиефорса Анализ выживания Функция выживания · Оценка Каплана — Мейера · Логранк-тест · Интенсивность отказов · Пропорциональная модель опасностей Корреляция Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания Линейные модели Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ Регрессия Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами Категории:- Эконометрика
- Статистические критерии
Wikimedia Foundation. 2010.