Теорема о душе

Теорема о душе́ — теорема в римановой геометрии, в значительной степени сводящая изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны к компактному случаю. Чигер (англ.) и Громол (англ.) доказали теорему в 1972, обобщив результат 1969 года Громола и Майера (Meyer). Связанная с ней гипотеза о душе была сформулирована Громолом и Чигером в 1972 и удивительно кратко доказана Григорием Перельманом в 1994.

Теорема о душе

Теорема о душе утверждает:

Если (M, g) — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0, то (M, g) имеет компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие S, такое что M диффеоморфно нормальному расслоению S.

Подмногообразие S называется душой (M, g).

Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны. Это доказал Шарафутдинов, используя ретракцию Шарафутдинова, в 1979.

Примеры

Любое компактное многообразие имеет душу. Поэтому теорему часто формулируют только для некомпактных многообразий.

В качестве очень простого примера, рассмотрим M — евклидово пространство Rⁿ. Его секционная кривизна 0, и любая точка M является его душой.

Теперь рассмотрим параболоид M = {(x,y,z) : z = x² + y²}, причём метрика g — обычное евклидово растояние во вложении параболоида в евклидово пространство R³. Здесь секционная кривизна везде положительна. Начало координат (0,0,0) — душа M. Не любая точка 'x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.

Можно также рассмотреть бесконечный цилиндр M = {(x,y,z) : x² + y² = 1}, снова с индуцированной евклидовой метрикой. Секционная кривизна везде 0. Любая «горизонтальная» окружность (x,y,z) : x² + y² = 1} с фиксированной z является душой M.

Гипотеза о душе

Гипотеза о душе Чигера и Громола утверждает:

Пусть (M, g) — полное связное некомпактное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0, и существует точка в M, в которой секционная кривизна во всех секционных направлениях строго положительна. Тогда душа M является точкой, или, что тоже самое, M диффеоморфно Rⁿ.

Перельман доказал это утверждение, установив, что в общем случае K ≥ 0, ретракция Шарафутдинова P : M → S является субмерсией (submersion).

Ссылки

• Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), "On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature", Annals of Mathematics. Second Series Т. 96: 413-443, MR0309010, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970819 
• Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), "On complete open manifolds of positive curvature", Annals of Mathematics. Second Series Т. 90: 75-90, MR0247590, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970682 
• Sharafutdinov, V. A. (1979), "Convex sets in a manifold of nonnegative curvature", Mathematical Notes Т. 26 (1): 556–560, DOI 10.1007/BF01140282 
• Perelman, Grigori (1994), "Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll", Journal of Differential Geometry Т. 40 (1): 209-212, MR1285534, ISSN 0022-040X, <http://www.intlpress.com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf>